НАД/Предиспитне обавезе 2021

Предиспитне обавезе 2021. године обављале су се преко Moodle курса предмета. Решења задатака која су дата су већином решења која су оцењена и проверена, али постоји и неколико примера који нису били тачно решени и дато решење представља исправљено решење (које није оцењено). Такође, у неким примерима је за оцену грешке потребно узети одговарајуће ограничење, па у зависности од тога које се ограничење изабере, могуће је добити различиту вредност за процену грешке. Такође, Moodle је наусмично бирао 3 задатка из једне веће базе задатака, тако да је било која комбинација доле наведених задатака могућа.

Верзија 1

1. задатак

Поставка

Методом половљења интервала, са тачношћу $0.5*10^{-3}$, одредити решење једначине $cos(e^x)=e^x$.

Решење

$x=-0.302$.

2. задатак

Поставка

Функцију $f(x)=\frac{x^3-2}{e^{x-1}+2}$, табелирати на интервалу $[0.8, 1.7]$ са кораком $h=0.1$, користећи 4 децимале. Инверзном интерполацијом одредити нулу функције $f$, ако је познато да је функција строго монотона на датом интервалу.

Решење

$x=1.2599$.

3. задатак

Поставка

Израчунати интеграл $\int\limits_{-1}^{1} (cosx)^2dx$ трапезном квадратурном формулом са тачношћу $0.5*10^{-4}$.

Решење

$I=1.4546$.

Верзија 2

1. задатак

Поставка

Њутновом методом, са тачношћу $0.5*10^{-4}$, одредити решење једначине $cos(e^x)=e^x$.

Решење

$x=-0.3023$

2. задатак

Поставка

Функцију $f(x)=\sin{\pi}x$, табелирати у чворовима $x_0=0, x_1=\frac{1}{6}, x_2=\frac{1}{2}, x_3=1$. Израчунати $f(0.4)$ користећи Лагранжов интерполациони полином трећег степена. Одредити оцену грешке у тачки $0.4$.

Решење

$f(0.4)=0.9312$.

3. задатак

Поставка

Израчунати интеграл $\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1}dx$ трапезном квадратурном формулом са тачношћу $0.5*10^{-3}$, ако знамо да је $M_2=2$.

Решење

$I=0.785$.

Верзија 3

1. задатак

Поставка

Методом половљења интервала, са тачношћу $0.5*10^{-3}$, одредити најмање позитивно решење једначине $x^2-5\sqrt[3]{x}+1=0$.

Решење

$x=0.008$.

2. задатак

Поставка

Функцију $\frac{e^x}{\sin{x}}$, на интервалу $[1.5, 2.5]$ са кораком $h=0.1$. Израчунати $f(2.05)$ користећи одговарајући Њутнов интерполациони полином трећег степена. Одредити оцену грешке у тачки $2.05$.

Решење

$f(2.05)=8.75601$, грешка је $0.002087$.

3. задатак

Поставка

Израчунати интеграл $\int\limits_{0}^{1} \sin{({\pi}x)}dx$ Симпсоновом квадратурном формулом са тачношћу $0.5*10^{-5}$.

Решење

$I=0.63662$.

Верзија 4

1. задатак

Поставка

Методом половљења интервала, са тачношћу $0.5*10^{-3}$, одредити решење једначине $x-2e^{-x}=0$.

Решење

$x=0.8527$.

2. задатак

Поставка

Функција је задата својим вредностима у табели:

$x$	$-0.35$	$-0.22$	$-0.13$	$0.11$
$f(x)$	$-0.54$	$-0.33$	$-0.16$	$0.32$

Инверзном интерполацијом одредити нулу функције $f$, рачунајући са 4 децимале.

Решење

$x=-0.0514$.

3. задатак

Поставка

Израчунати интеграл $\int\limits_{3}^{3.5} \frac{x}{\sqrt{x^2-4}}dx$ трапезном квадратурном формулом са тачношћу $0.5*10^{-5}$.

Решење

$I=0.63622$.

Верзија 5

1. задатак

Поставка

Методом сечице, са тачношћу $0.5*10^{-4}$, одредити решење једначине $\sqrt{x}+x^2=7$.

Решење

$x=2.3389$.

2. задатак

Поставка

Функцију $f(x)=\ln{x}\cos{2x}$, табелирати на интервалу $[4, 6.7]$ са кораком $h=0.3$. Израчунати $f(5)$ користећи Њутнов интерполациони полином трећег степена. Одредити оцену грешке у тачки $5$.

Решење

$N(5)=-1.35587$, грешка је $0.080841$.

3. задатак

Поставка

Израчунати интеграл $\int\limits_{0}^{2} \sqrt{x+1}dx$ Симпсоновом квадратурном формулом са тачношћу $0.5*10^{-5}$.

Решење

$S=2.07977$.

Верзија 6

1. задатак

Поставка

Методом просте итерације, са тачношћу $0.5*10^{-3}$, одредити негативно решење једначине $e^{x}=2x^{2}$.

Решење

$x=-0.5398$.

2. задатак

Поставка

Функцију $f(x)=\sqrt{x^2+1}$, табелирати на интервалу $[0, 2]$ са кораком $h=0.25$. Израчунати $f(1.2)$ користећи Њутнов интерполациони полином трећег степена. Одредити оцену грешке у тачки $1.2$.

Решење

$1.5621,-0.00005$

3. задатак

Поставка

Израчунати интеграл $\int\limits_{0}^{1} \sin{({\pi}x)}dx$ трапезном квадратурном формулом са тачношћу $0.5*10^{-3}$.

Решење

$I = 0.6364$

Excel решење

Решење верзије 6 у Excel-у може се наћи овде. Дати фајл је колегао предао у оквиру својих предиспитних обавеза и оцењен је са максималних 30 поена.