НАД/К1 2020

Теорија

1. питање

Поставка

Исказати и доказати теорему о потребним и довољним условима за постојање и јединстевеност непокретне тачке функције g(x) на интервалу [a, b].

Решење

Теорема 2.2 на 15. страни из књиге.

2. питање

Поставка

Како је помоћу LU композиције матрице А могуће израчунати њену детерминатну? (Подразумевало се да је већ извршена декомпозиција)

Решење

Одељак Одређивање детерминатне матрице LU декомпозицијом на 46. страни из књиге.

3. питање

Поставка

Исказати услове теореме за матрицу коефицијената система под којим Јакобијева и Гаус-Зајделова итеративна метода конвергирају ка решењу линеарног система једначина.

Решење

Теорема 3.1 на 57. страни из књиге. Било је потребно дефинати и строгу дијагоналну доминантност матрице - Дефиниција 3.3 на 48. страни из књиге.

4. питање

Поставка

Извести Лагранжов интерполациони полином.

Решење

Одељак Лагранжов интерполациони полином на 67. и 68. страни из књиге.

Задаци

1. задатак

Поставка

Функција $f(x)$ је задата следећом табелом:

$x$	18.0	18.1	18.2	18.3	18.4	18.5	18.6
$f(x)$	0.0621	0.0599	0.0640	0.0740	0.0892	0.1098	0.1413

Формирајући одговарајући Њутнов интерполациони полином трећег степена, израчунати $f$(18,09) и проценити грешку интерполације у тачки 18,09.

Решење

Поступак сличан 14. задатку на 82. страни из књиге. За $x_0$ узети 18.

2. задатак

Поставка

Њутновом методом са тачношћу $10^{-4}$, одредити највеће негативно решење једначине $e^x = \sin\frac{\pi x}{3}$

Решење

9. задатак на 25. страни у књизи. x је приближно -3,0454.