Математика 1/Фебруар 2020

Овај рок није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Теорија

1. задатак

Поставка

Дефинисати следеће појмове:

Тачка нагомилавања
Функција f ограничена на скупу $S \subseteq Dom(f)$
$\lim_{x \to a}{f(x)} = \infty$

Решење

Тачка нагомилавања је реалан број у чијој се свакој околини налази бесконачно много чланова низа
функција f је ограничена на скупу s, који је подскуп домена функције f
Лимес када х тежи а, од функције f(x) једнак је бесконачно.

2. задатак

Поставка

Навести пример и нацртати скицу функције која је дефинисана на интервалу [-2,3], а да вредности функције на крају интервала имају различит знак и да $\forall x \in [-2,3]: f(x) \neq 0$ . Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.

Решење

$f(x) = \frac{1}{x}\$ , за $x \neq 0$
$f(x) = 1$ , за $x = 0$

3. задатак

Поставка

Ако постоји навести пример функције која има прекид другог реда на x = 3. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.

Решење

$f(x) = \frac{-1}{(x-3)^2}\$ , за $x > 3$
$f(x) = e^{\frac{x}{3}-1}$ , за $x \le 3$

4. задатак

Овај задатак није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Извести по дефиницији $cos^3(x)$

5. задатак

Поставка

Дефинисати косу асимптоту и дефиницију представити на примеру функције $\sqrt{x^2+x+1}$

Решење

$\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x} = a$
$\lim_{x \to \infty}{f(x)-a\cdot x} = b$
Ако је $\lim_{x \to \infty}{f(x)-a\cdot x - b} = 0$ , за неко $a \neq 0$ и $b \in R$ , тада праву $y = ax + b$ називамо косом асимптомом функције f.
Ако $x \to -\infty$ , то је лева коса асимптота, а ако $x \to +\infty$ то је десна коса асимптота.

У овом примеру, када $x \to +\infty$ , $a = 1$ i $b = \frac{1}{2}$ , што значи да је $y = x + \frac{1}{2}$ десна коса асимптота функције f. Када $x \to -\infty$ , $a = -1$ i $b = -\frac{1}{2}$ , што значи да је $y = -x - \frac{1}{2}$ лева коса асимптота функције f.

6. задатак

Поставка

Исказати Фермаову теорему и доказати је.

Решење

Исказ - ако функција f има локални екстремум у тачки Х и у тој тачки има и извод, онда је тај извод једнак нули. Ако извод није једнак нули, онда у тој тачки не постоји локални екстремум.
Доказ - Претпоставимо да f има локални максимум у тачки Х. Тада за довољно мало $h > 0$ важи: $f(x+h) \le f(x)$ . Даље је десни извод( $f_+'$ ): $\lim_{x \to 0+}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \le 0$ . За довољно мало $h > 0$ важи и: $f(x-h) \le f(x)$ . Леви извод је( $f_-'$ ): $\lim_{x \to 0-}{\frac{f(x)-f(x-h)}{h}} \ge 0$ . По претпоставци, f има извод у Х, па важи: $f'(x) = f_+' = f_-'$ . С обзиром да $f_+' \le 0$ и да $f_-' \ge 0$ , мора бити $f'(x) = f_+' = f_-' = 0$ . Дакле, $f'(x) = 0$ .