Вероватноћа и статистика/К1 2023

Први колоквијум 2023. године одржан је 27. марта и трајао је сат времена. Поставка рока није јавно доступна.

1. задатак

Поставка

Коцкица за игру се баца три пута.

1. Догађај $A$: да ли је бар једном пала шестица
2. Догађај $B$: да ли је у сва три бацања пао различит број

Одредити $P(A)$ и $P(B)$.

Решење

1. Израчунајмо вероватноћу да ниједном није пала шестица: $P(\overline{A}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{125}{216}$. Из тога добијамо $P(A) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$.
2. Сви исходи су једнаковероватни. Број свих исхода јесте $|\Omega| = 6^3$ а број погодних исхода можемо да добијемо бирањем три од шест бројева и урачунавањем свих њихових пермутација $|B| = \binom{6}{3} \cdot 6$. Из тога добијамо $P(B) = \frac{\binom{6}{3} \cdot 6}{6^3} = \frac{120}{216} = \frac{5}{9}$.
   • Алтернативно, у првом бацању бирамо било који број, у другом било који осим тог којег смо претходно изабрали, а у трећем било који осим претходна два и добијамо $P(B) = \frac{6}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{5}{9}$

2. задатак

Поставка

У коцку је уписана лопта. Одредити вероватноћу да тачка која припада коцки такође припада лопти.

Решење

Ово је једноставан количник запремина лопте и коцке. Уколико узмемо да је страница коцке $a$, онда имамо $V_K = a^3$. Полупречник лопте, због тога што је лопта уписана у коцку, јесте $r = \frac{a}{2}$, па је тиме и $V_L = \frac{4}{3} r^3 \pi = \frac{4}{3} \cdot \frac{a^3}{8} \pi$. Из тога добијамо $P(A) = \frac{V_L}{V_K} = \frac{\frac{4}{3} \cdot \frac{a^3}{8} \pi}{a^3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} \pi = \frac{\pi}{6}$

3. задатак

Поставка

Прва кутија садржи 5 црвених и 6 белих куглица, а друга 4 црвене и 4 беле куглице. Из прве кутије се вади једна куглица без враћања и премешта у другу кутију, а затим се из друге кутије вади једна куглица. Уколико је из друге кутије извучена црвена куглица, колика је шанса да је из прве кутије премештена црвена куглица?

Решење

Означимо са $P(C_1)$ вероватноћу да је из прве кутије извучена црвена куглица, а са $P(C_2)$ вероватноћу да је из друге кутије извучена црвена куглица. Имамо следеће:

• $P(C_1) = \frac{5}{11}$, ако се извуче црвена у другој кутији имамо 5 црвених и 4 беле па добијамо $P(C_2|C_1) = \frac{5}{9}$
• $P(\overline{C_1}) = \frac{6}{11}$, ако се извуче бела у другој кутији имамо 4 црвених и 5 белих па добијамо $P(C_2|\overline{C_1}) = \frac{4}{9}$

Преко формуле тоталне вероватноће добијамо вероватноћу да је извучена црвена куглица из друге кутије: $P(C_2) = P(C_1)P(C_2|C_1) + P(\overline{C_1})P(C_2|\overline{C_1}) = \frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 11} + \frac{6 \cdot 4}{9 \cdot 11} = \frac{49}{99}$.

На крају, преко Бајесове формуле добијамо апостериорну вероватноћу догађаја $C_1$, $P(C_2|C_1) = \frac{P(C_1|C_2)P(C_1)}{P(C_2)} = \frac{\frac{5}{9} \cdot \frac{5}{11}}{\frac{49}{99}} = \frac{25}{49}$.

4. задатак

Поставка

Коцкица за игру се баца до добијања прве шестице, а максимално четири пута. Ако је случајна променљива $X$ број бацања коцкице, написати закон и функцију расподеле за $X$, а затим нацртати график функције расподеле.

Решење

График функције расподеле из четвртог задатка.

Променљива $X$ има 4 могуће вредности:

• $P(X = 1) = \frac{1}{6}$
• $P(X = 2) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$
• $P(X = 3) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$
• $P(X = 4) = 1 - P(X = 1) - P(X = 2) - P(X = 3) = \frac{216 - 36 - 30 - 25}{216} = \frac{125}{216}$

Одатле је закон расподеле: $X: \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \frac{1}{6} & \frac{5}{36} & \frac{25}{216} & \frac{125}{216} \end{pmatrix}$ а функција расподеле: $F(X = x) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & x < 1 \\ \frac{1}{6} & 1 \leq x < 2 \\ \frac{11}{36} & 2 \leq x < 3 \\ \frac{91}{216} & 3 \leq x < 4 \\ 1 & 4 \leq x \end{array}\right.$

5. задатак

Поставка

За случајни вектор $(X, Y)$ дата је следећа табела расподеле:

Табела расподеле у петом задатку.

$X$ \ $Y$	$2$	$4$
$-1$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$
$0$	$\frac{1}{8}$	$p$
$1$	$0$	$\frac{1}{3}$

Одредити параметар $p$, маргиналне законе расподеле, и одредити $P(X \leq 0, Y \leq 2)$.

Решење

Параметар $p$ можемо добити тиме што сума свих поља табеле мора дати вредност 1 на крају: $p = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} - 0 - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Табела расподеле у решењу петог задатка са маргиналним законима расподеле.

$X$ \ $Y$	$2$	$4$
$-1$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$
$0$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{7}{24}$
$1$	$0$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
	$\frac{3}{8}$	$\frac{5}{8}$

На основу ове табеле можемо израчунати $P(X \leq 0, Y \leq 2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.