Verovatnoća i statistika/K1 2023

Prvi kolokvijum 2023. godine održan je 27. marta i trajao je sat vremena. Postavka roka nije javno dostupna.

1. zadatak

Postavka

Kockica za igru se baca tri puta.

1. Događaj $A$: da li je bar jednom pala šestica
2. Događaj $B$: da li je u sva tri bacanja pao različit broj

Odrediti $P(A)$ i $P(B)$.

Rešenje

1. Izračunajmo verovatnoću da nijednom nije pala šestica: $P(\overline{A}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{125}{216}$. Iz toga dobijamo $P(A) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$.
2. Svi ishodi su jednakoverovatni. Broj svih ishoda jeste $|\Omega| = 6^3$ a broj pogodnih ishoda možemo da dobijemo biranjem tri od šest brojeva i uračunavanjem svih njihovih permutacija $|B| = \binom{6}{3} \cdot 6$. Iz toga dobijamo $P(B) = \frac{\binom{6}{3} \cdot 6}{6^3} = \frac{120}{216} = \frac{5}{9}$.
   • Alternativno, u prvom bacanju biramo bilo koji broj, u drugom bilo koji osim tog kojeg smo prethodno izabrali, a u trećem bilo koji osim prethodna dva i dobijamo $P(B) = \frac{6}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{5}{9}$

2. zadatak

Postavka

U kocku je upisana lopta. Odrediti verovatnoću da tačka koja pripada kocki takođe pripada lopti.

Rešenje

Ovo je jednostavan količnik zapremina lopte i kocke. Ukoliko uzmemo da je stranica kocke $a$, onda imamo $V_K = a^3$. Poluprečnik lopte, zbog toga što je lopta upisana u kocku, jeste $r = \frac{a}{2}$, pa je time i $V_L = \frac{4}{3} r^3 \pi = \frac{4}{3} \cdot \frac{a^3}{8} \pi$. Iz toga dobijamo $P(A) = \frac{V_L}{V_K} = \frac{\frac{4}{3} \cdot \frac{a^3}{8} \pi}{a^3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} \pi = \frac{\pi}{6}$

3. zadatak

Postavka

Prva kutija sadrži 5 crvenih i 6 belih kuglica, a druga 4 crvene i 4 bele kuglice. Iz prve kutije se vadi jedna kuglica bez vraćanja i premešta u drugu kutiju, a zatim se iz druge kutije vadi jedna kuglica. Ukoliko je iz druge kutije izvučena crvena kuglica, kolika je šansa da je iz prve kutije premeštena crvena kuglica?

Rešenje

Označimo sa $P(C_1)$ verovatnoću da je iz prve kutije izvučena crvena kuglica, a sa $P(C_2)$ verovatnoću da je iz druge kutije izvučena crvena kuglica. Imamo sledeće:

• $P(C_1) = \frac{5}{11}$, ako se izvuče crvena u drugoj kutiji imamo 5 crvenih i 4 bele pa dobijamo $P(C_2|C_1) = \frac{5}{9}$
• $P(\overline{C_1}) = \frac{6}{11}$, ako se izvuče bela u drugoj kutiji imamo 4 crvenih i 5 belih pa dobijamo $P(C_2|\overline{C_1}) = \frac{4}{9}$

Preko formule totalne verovatnoće dobijamo verovatnoću da je izvučena crvena kuglica iz druge kutije: $P(C_2) = P(C_1)P(C_2|C_1) + P(\overline{C_1})P(C_2|\overline{C_1}) = \frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 11} + \frac{6 \cdot 4}{9 \cdot 11} = \frac{49}{99}$.

Na kraju, preko Bajesove formule dobijamo aposteriornu verovatnoću događaja $C_1$, $P(C_2|C_1) = \frac{P(C_1|C_2)P(C_1)}{P(C_2)} = \frac{\frac{5}{9} \cdot \frac{5}{11}}{\frac{49}{99}} = \frac{25}{49}$.

4. zadatak

Postavka

Kockica za igru se baca do dobijanja prve šestice, a maksimalno četiri puta. Ako je slučajna promenljiva $X$ broj bacanja kockice, napisati zakon i funkciju raspodele za $X$, a zatim nacrtati grafik funkcije raspodele.

Rešenje

Grafik funkcije raspodele iz četvrtog zadatka.

Promenljiva $X$ ima 4 moguće vrednosti:

• $P(X = 1) = \frac{1}{6}$
• $P(X = 2) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$
• $P(X = 3) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$
• $P(X = 4) = 1 - P(X = 1) - P(X = 2) - P(X = 3) = \frac{216 - 36 - 30 - 25}{216} = \frac{125}{216}$

Odatle je zakon raspodele: $X: \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \frac{1}{6} & \frac{5}{36} & \frac{25}{216} & \frac{125}{216} \end{pmatrix}$ a funkcija raspodele: $F(X = x) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & x < 1 \\ \frac{1}{6} & 1 \leq x < 2 \\ \frac{11}{36} & 2 \leq x < 3 \\ \frac{91}{216} & 3 \leq x < 4 \\ 1 & 4 \leq x \end{array}\right.$

5. zadatak

Postavka

Za slučajni vektor $(X, Y)$ data je sledeća tabela raspodele:

Tabela raspodele u petom zadatku.

$X$ \ $Y$	$2$	$4$
$-1$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$
$0$	$\frac{1}{8}$	$p$
$1$	$0$	$\frac{1}{3}$

Odrediti parametar $p$, marginalne zakone raspodele, i odrediti $P(X \leq 0, Y \leq 2)$.

Rešenje

Parametar $p$ možemo dobiti time što suma svih polja tabele mora dati vrednost 1 na kraju: $p = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} - 0 - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Tabela raspodele u rešenju petog zadatka sa marginalnim zakonima raspodele.

$X$ \ $Y$	$2$	$4$
$-1$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$
$0$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{7}{24}$
$1$	$0$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
	$\frac{3}{8}$	$\frac{5}{8}$

Na osnovu ove tabele možemo izračunati $P(X \leq 0, Y \leq 2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.