Matematika 1/Februar 2020

Teorija

1. Definisati sledeće pojmove:
   1. Tačka nagomilavanja
   2. Funkcija f ograničena na skupu $S \subseteq Dom(f)$
   3. $\lim_{x \to a}{f(x)} = \infty$
2. Navesti primer i nacrtati skicu funkcije koja je definisana na intervalu [-2,3], a da vrednosti funkcije na kraju intervala imaju različit znak i da $\forall x \in [-2,3]: f(x) \neq 0$. Ukoliko ne postoji takva funkcija, navesti teoreme koje to dokazuju.
3. Ako postoji navesti primer funkcije koja ima prekid drugog reda na x = 3. Ukoliko ne postoji takva funkcija, navesti teoreme koje to dokazuju. (nepotpuno)
4. Izvesti po definiciji $cos^3(x)$
5. Definisati kosu asimptotu i definiciju predstaviti na primeru funkcije $\sqrt{x^2+x+1}$
6. Iskazati Fermaovu teoremu i dokazati je.
7. Definisati Tejlorov polinom reda 3 u tački x = 1...

Zadaci

1. Dokazati da je polinom P deljiv sa Q za svako $a \in \mathbb{R} \and n \in \mathbb{N}$: $P(x) = x^{n+2} + 2x^{n+1} - a^3x^{n-2}-ax^2 +(2+a)ax-2a^2$.
2. Odrediti parametre tako da polinom ima dve dvostruke nule i naći te nule: $x^4 - px^2 + qx + 1$
3. Odrediti granične vrednosti nizova:
   1. $a_n = \frac{1+3+3^2+3^3+\ldots +3^{2n}}{1+9+9^2+9^3+\ldots + 9^n}$
   2. $b_n = \frac{(n+2)!-n(n+1)!}{(n+2)!+3n!}$
4. Odrediti graničnu vrednost funkcije $\left( \frac{5}{2+\sqrt{9+x}} \right) ^{\frac{1}{sin x}}$
5. Naći asimptote funkcije $f(x) = \left| x+1 \right| e^{-\frac{1}{x}}$
6. Za funkciju $f(x) = \sqrt[3]{(x^2+2x)^2}$
   1. Odrediti monotnost i naći lokalne ekstremume
   2. Odrediti konkavnost i naći prevojne tačke