NAD/Predispitne obaveze 2021

Rešenja zadataka koja su data su većinom rešenja koja su ocenjena i proverena, ali postoji i nekoliko primera koji nisu bili tačno rešeni i dato rešenje predstavlja ispravljeno rešenje (koje nije ocenjeno). Takođe, u nekim primerima je za ocenu greške potrebno uzeti odgovarajuće ograničenje, pa u zavisnosti od toga koje se ograničenje izabere, moguće je dobiti različitu vrednost za procenu greške.

Verzija 1

1. zadatak

Postavka

Metodom polovljenja intervala, sa tačnošću $0.5*10^{-3}$, odrediti rešenje jednačine $cos(e^x)=e^x$.

Rešenje

$x=-0.302$.

2. zadatak

Postavka

Funkciju $f(x)=\frac{x^3-2}{e^{x-1}+2}$, tabelirati na intervalu $[0.8, 1.7]$ sa korakom $h=0.1$, koristeći 4 decimale. Inverznom interpolacijom odrediti nulu funkcije $f$, ako je poznato da je funkcija strogo monotona na datom intervalu.

Rešenje

$x=1.2599$.

3. zadatak

Postavka

Izračunati integral $\int\limits_{-1}^{1} (cosx)^2dx$ trapeznom kvadraturnom formulom sa tačnošću $0.5*10^{-4}$.

Rešenje

$I=1.4546$.

Verzija 2

1. zadatak

Postavka

Njutnovom metodom, sa tačnošću $0.5*10^{-4}$, odrediti rešenje jednačine $cos(e^x)=e^x$.

Rešenje

$x=-0.3023$

2. zadatak

Postavka

Funkciju $f(x)=\sin{\pi}x$, tabelirati u čvorovima $x_0=0, x_1=\frac{1}{6}, x_2=\frac{1}{2}, x_3=1$. Izračunati $f(0.4)$ koristeći Lagranžov interpolacioni polinom trećeg stepena. Odrediti ocenu greške u tački $0.4$.

Rešenje

$f(0.4)=0.9312$.

3. zadatak

Postavka

Izračunati integral $\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1}dx$ trapeznom kvadraturnom formulom sa tačnošću $0.5*10^{-3}$, ako znamo da je $M_2=2$.

Rešenje

$I=0.411$.

Verzija 3

1. zadatak

Postavka

Metodom polovljenja intervala, sa tačnošću $0.5*10^{-3}$, odrediti najmanje pozitivno rešenje jednačine $x^2-5\sqrt[3]{x}+1=0$.

Rešenje

$x=-0.008$.

2. zadatak

Postavka

Funkciju $\frac{e^x}{\sin{x}}$, na intervalu $[1.5, 2.5]$ sa korakom $h=0.1$. Izračunati $f(2.05)$ koristeći ogovarajući Njutnov interpolacioni polinom trećeg stepena. Odrediti ocenu greške u tački $2.05$.

Rešenje

$f(2.05)=8.75601$, greška je $0.63440$.

3. zadatak

Postavka

Izračunati integral $\int\limits_{0}^{1} \sin{({\pi}x)}dx$ Simpsonovom kvadraturnom formulom sa tačnošću $0.5*10^{-5}$.

Rešenje

$I=0.63662$.

Verzija 4

1. zadatak

Postavka

Metodom polovljenja intervala, sa tačnošću $0.5*10^{-3}$, odrediti rešenje jednačine $x-2e^{-x}=0$.

Rešenje

$x=-0.853$.

2. zadatak

Postavka

Funkcija je zadata svojim vrednostima u tabeli:

$x$	$-0.35$	$-0.22$	$-0.13$	$0.11$
$f(x)$	$-0.54$	$-0.33$	$-0.16$	$0.32$

Inverznom interpolacijom odrediti nulu funkcije $f$, računajući sa 4 decimale.

Rešenje

$x=-0.0514$.

3. zadatak

Postavka

Izračunati integral $\int\limits_{3}^{3.5} \frac{x}{\sqrt{x^2-4}}dx$ trapeznom kvadraturnom formulom sa tačnošću $0.5*10^{-5}$.

Rešenje

$I=0.63622$.