Matematika 1/Februar 2020

Ovaj rok nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Teorija

1. zadatak

Postavka

Definisati sledeće pojmove:

1. Tačka nagomilavanja
2. Funkcija f ograničena na skupu $S \subseteq Dom(f)$
3. $\lim_{x \to a}{f(x)} = \infty$

Rešenje

1. Tačka nagomilavanja je realan broj u čijoj se svakoj okolini nalazi beskonačno mnogo članova niza
2. funkcija f je ograničena na skupu s, koji je podskup domena funkcije f
3. Limes kada h teži a, od funkcije f(x) jednak je beskonačno.

2. zadatak

Postavka

Navesti primer i nacrtati skicu funkcije koja je definisana na intervalu [-2,3], a da vrednosti funkcije na kraju intervala imaju različit znak i da $\forall x \in [-2,3]: f(x) \neq 0$. Ukoliko ne postoji takva funkcija, navesti teoreme koje to dokazuju.

Rešenje

1. $f(x) = \frac{1}{x}\$, za $x \neq 0$
2. $f(x) = 1$, za $x = 0$

3. zadatak

Postavka

Ako postoji navesti primer funkcije koja ima prekid drugog reda na x = 3. Ukoliko ne postoji takva funkcija, navesti teoreme koje to dokazuju.

Rešenje

1. $f(x) = \frac{-1}{(x-3)^2}\$, za $x > 3$
2. $f(x) = e^{\frac{x}{3}-1}$, za $x \le 3$

4. zadatak

Ovaj zadatak nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Izvesti po definiciji $cos^3(x)$

5. zadatak

Postavka

Definisati kosu asimptotu i definiciju predstaviti na primeru funkcije $\sqrt{x^2+x+1}$

Rešenje

1. $\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x} = a$
2. $\lim_{x \to \infty}{f(x)-a\cdot x} = b$
3. Ako je $\lim_{x \to \infty}{f(x)-a\cdot x - b} = 0$, za neko $a \neq 0$ i $b \in R$, tada pravu $y = ax + b$ nazivamo kosom asimptomom funkcije f.
4. Ako $x \to -\infty$, to je leva kosa asimptota, a ako $x \to +\infty$ to je desna kosa asimptota.

U ovom primeru, kada $x \to +\infty$, $a = 1$ i $b = \frac{1}{2}$, što znači da je $y = x + \frac{1}{2}$ desna kosa asimptota funkcije f. Kada $x \to -\infty$, $a = -1$ i $b = -\frac{1}{2}$, što znači da je $y = -x - \frac{1}{2}$ leva kosa asimptota funkcije f.

6. zadatak

Postavka

Iskazati Fermaovu teoremu i dokazati je.

Rešenje

1. Iskaz - ako funkcija f ima lokalni ekstremum u tački H i u toj tački ima i izvod, onda je taj izvod jednak nuli. Ako izvod nije jednak nuli, onda u toj tački ne postoji lokalni ekstremum.
2. Dokaz - Pretpostavimo da f ima lokalni maksimum u tački H. Tada za dovoljno malo $h > 0$ važi: $f(x+h) \le f(x)$. Dalje je desni izvod($f_+'$): $\lim_{x \to 0+}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \le 0$. Za dovoljno malo $h > 0$ važi i: $f(x-h) \le f(x)$. Levi izvod je($f_-'$): $\lim_{x \to 0-}{\frac{f(x)-f(x-h)}{h}} \ge 0$. Po pretpostavci, f ima izvod u H, pa važi: $f'(x) = f_+' = f_-'$. S obzirom da $f_+' \le 0$ i da $f_-' \ge 0$, mora biti $f'(x) = f_+' = f_-' = 0$. Dakle, $f'(x) = 0$.

7. zadatak

Postavka

Definisati Tejlorov polinom reda 3 u tački x = 1...

Rešenje

$T_3(1) = f(1) + f'(1)\cdot (x-1) + \frac{f''(1)}{2!}\cdot (x-1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}\cdot (x-1)^3$

Zadaci

1. zadatak

Ovaj zadatak nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Dokazati da je polinom P deljiv sa Q za svako $a \in \mathbb{R} \and n \in \mathbb{N}$: $P(x) = x^{n+2} + 2x^{n+1} - a^3x^{n-2}-ax^2 +(2+a)ax-2a^2$.

2. zadatak

Ovaj zadatak nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Odrediti parametre tako da polinom ima dve dvostruke nule i naći te nule: $x^4 - px^2 + qx + 1$

3. zadatak

Ovaj zadatak nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Odrediti granične vrednosti nizova:

1. $a_n = \frac{1+3+3^2+3^3+\ldots +3^{2n}}{1+9+9^2+9^3+\ldots + 9^n}$
2. $b_n = \frac{(n+2)!-n(n+1)!}{(n+2)!+3n!}$

4. zadatak

Ovaj zadatak nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Odrediti graničnu vrednost funkcije $\left( \frac{5}{2+\sqrt{9+x}} \right) ^{\frac{1}{sin x}}$

5. zadatak

Ovaj zadatak nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Naći asimptote funkcije $f(x) = \left| x+1 \right| e^{-\frac{1}{x}}$

6. zadatak

Ovaj zadatak nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Za funkciju $f(x) = \sqrt[3]{(x^2+2x)^2}$

1. Odrediti monotnost i naći lokalne ekstremume
2. Odrediti konkavnost i naći prevojne tačke