Matematika 1/Februar 2020

Teorija

Definisati sledeće pojmove:
1. Tačka nagomilavanja
2. Funkcija f ograničena na skupu $S \subseteq Dom(f)$
3. $\lim_{x \to a}{f(x)} = \infty$
Navesti primer i nacrtati skicu funkcije koja je definisana na intervalu [-2,3], a da vrednosti funkcije na kraju intervala imaju različit znak i da $\forall x \in [-2,3]: f(x) \neq 0$ . Ukoliko ne postoji takva funkcija, navesti teoreme koje to dokazuju.
Ako postoji navesti primer funkcije koja ima prekid drugog reda na x = 3. Ukoliko ne postoji takva funkcija, navesti teoreme koje to dokazuju.
Izvesti po definiciji $cos^3(x)$
Definisati kosu asimptotu i definiciju predstaviti na primeru funkcije $\sqrt{x^2+x+1}$
Iskazati Fermaovu teoremu i dokazati je.
Definisati Tejlorov polinom reda 3 u tački x = 1...

Dokazati da je polinom P deljiv sa Q za svako $a \in \mathbb{R} \and n \in \mathbb{N}$
Odrediti parametre tako da polinom ima dve dvostruke nule i naći te nule: $x^4 - px^2 + qx + 1$
Odrediti granične vrednosti nizova:
1. $a_n = \frac{1+3+3^2+3^3+\ldots +3^{2n}}{1+9+9^2+9^3+\ldots + 9^n}$
2. $b_n = \frac{(n+2)!+n(n+1)!}{(n+2)!+3n!}$
Odrediti graničnu vrednost funkcije $\left( \frac{5}{2+\sqrt{9+x}} \right) ^{\frac{1}{sin x}}$
Naći asimptote funkcije $f(x) = \left| x+1 \right| e^{-\frac{1}{x}}$
Za funkciju $f(x) = \sqrt[3]{(x^2+2x)^2}$ $f(x) = \sqrt[3]{(x^2+2x)^2}$
1. Odrediti monotnost i naći lokalne ekstremume
2. Odrediti konkavnost i naći prevojne tačke

Naći nule polinoma Q. Ubacivanjem nula u polinom P lako se dokazuje da jednačina ne zavisi ni od a ni od n.
$p = 2; \quad q = 0; \quad x_1 = x_2 = -x_3 = -x_4 = 1$
...
Primeniti Lopitalovo pravilo. $e^{-\frac{1}{30}}$
Leva vertikalna x = 0. Dve kose y = x + 1 i y = - x - 1.
...