NAD/K1 2020

Teorija

1. pitanje

Postavka

Iskazati i dokazati teoremu o potrebnim i dovoljnim uslovima za postojanje i jedinstevenost nepokretne tačke funkcije g(x) na intervalu [a, b].

Rešenje

Teorema 2.2 na 15. strani iz knjige.

2. pitanje

Postavka

Kako je pomoću LU kompozicije matrice A moguće izračunati njenu determinatnu? (Podrazumevalo se da je već izvršena dekompozicija)

Rešenje

Odeljak Određivanje determinatne matrice LU dekompozicijom na 46. strani iz knjige.

3. pitanje

Postavka

Iskazati uslove teoreme za matricu koeficijenata sistema pod kojim Jakobijeva i Gaus-Zajdelova iterativna metoda konvergiraju ka rešenju linearnog sistema jednačina.

Rešenje

Teorema 3.1 na 57. strani iz knjige. Bilo je potrebno definati i strogu dijagonalnu dominantnost matrice - Definicija 3.3 na 48. strani iz knjige.

4. pitanje

Postavka

Izvesti Lagranžov interpolacioni polinom.

Rešenje

Odeljak Lagranžov interpolacioni polinom na 67. i 68. strani iz knjige.

Zadaci

1. zadatak

Postavka

Funkcija $f(x)$ je zadata sledećom tabelom:

$x$	18.0	18.1	18.2	18.3	18.4	18.5	18.6
$f(x)$	0.0621	0.0599	0.0640	0.0740	0.0892	0.1098	0.1413

Formirajući odgovarajući Njutnov interpolacioni polinom trećeg stepena, izračunati $f$(18,09) i proceniti grešku interpolacije u tački 18,09.

Rešenje

Postupak sličan 14. zadatku na 82. strani iz knjige. Za $x_0$ uzeti 18.

2. zadatak

Postavka

Njutnovom metodom sa tačnošću $10^{-4}$, odrediti najveće negativno rešenje jednačine $e^x = \sin\frac{\pi x}{3}$

Rešenje

9. zadatak na 25. strani u knjizi. x je približno -3,0454.