NAD/K1 2020

1. pitanje

Iskazati i dokazati teoremu o potrebnim i dovoljnim uslovima za postojanje i jedinstevenost nepokretne tačke funkcije g(x) na intervalu [a, b].

Rešenje

Teorema 2.2 na 15. strani iz knjige.

2. pitanje

Kako je pomoću LU kompozicije matrice A moguće izračunati njenu determinatnu? (Podrazumevalo se da je već izvršena dekompozicija)

Rešenje

Odeljak "Određivanje determinatne matrice LU dekompozicijom" na 46. strani iz knjige.

3. pitanje

Iskazati uslove teoreme za matricu koeficijenata sistema pod kojim Jakobijeva i Gaus-Zajdelova iterativna metoda konvergiraju ka rešenju linearnog sistema jednačina.

Rešenje

Teorema 3.1 na 57. strani iz knjige. Bilo je potrebno definati i strogu dijagonalnu dominantnost matrice - Definicija 3.3 na 48. strani iz knjige.

1. zadatak

Tabelom je zadata funkcija f(x):

h: 18; 18,1; 18,2; 18,3; 18,4; 18,5; 18,6. f(x): vrednosti su bile od 0,5 do 1,5 zapisane na 4 decimale.

Formirajući odgovarajući Njutnov interpolacioni polinom trećeg stepena, izračunati f(18,09) i proceniti grešku interpolacije u tački 18,09.

Rešenje

Postupak sličan 14. zadatku na 82. strani iz knjige. Za h0 uzeti 18.

2. zadatak

Njutnovom metodom sa tačnošću $10^{-4}$, odrediti najveće negativno rešenje jednačine $e^x = \sin\frac{\pi x}{3}$

Rešenje

Zadatak 9 na 25. strani u knjizi. x je približno -3,0454.