Математика 1/Фебруар 2020

Теорија

1. Дефинисати следеће појмове:
   1. Тачка нагомилавања
   2. Функција f ограничена на скупу $S \subseteq Dom(f)$
   3. $\lim_{x \to a}{f(x)} = \infty$
2. Навести пример и нацртати скицу функције која је дефинисана на интервалу [-2,3], а да вредности функције на крају интервала имају различит знак и да $\forall x \in [-2,3]: f(x) \neq 0$. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.
3. Ако постоји навести пример функције која има прекид другог реда на x = 3. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.
4. Извести по дефиницији $cos^3(x)$
5. Дефинисати косу асимптоту и дефиницију представити на примеру функције $\sqrt{x^2+x+1}$
6. Исказати Фермаову теорему и доказати је.
7. Дефинисати Тејлоров полином реда 3 у тачки x = 1...

Задаци

1. Доказати да је полином P дељив са Q за свако $a \in \mathbb{R} \and n \in \mathbb{N}$
2. Одредити параметре тако да полином има две двоструке нуле и наћи те нуле: $x^4 - px^2 + qx + 1$
3. Одредити граничне вредности низова:
   1. $a_n = \frac{1+3+3^2+3^3+\ldots +3^{2n}}{1+9+9^2+9^3+\ldots + 9^n}$
   2. $b_n = \frac{(n+2)!+n(n+1)!}{(n+2)!+3n!}$
4. Одредити граничну вредност функције $\left( \frac{5}{2+\sqrt{9+x}} \right) ^{\frac{1}{sin x}}$
5. Наћи асимптоте функције $f(x) = \left| x+1 \right| e^{-\frac{1}{x}}$
6. За функцију $f(x) = \sqrt[3]{(x^2+2x)^2}$
   1. Одредити монотност и наћи локалне екстремуме
   2. Одредити конкавност и наћи превојне тачке

Решења

1. Наћи нуле полинома Q. Убацивањем нула у полином P лако се доказује да једначина не зависи ни од a ни од n.
2. $p = 2; \quad q = 0; \quad x_1 = x_2 = -x_3 = -x_4 = 1$
3. ...
4. Применити Лопиталово правило. $e^{-\frac{1}{30}}$
5. Лева вертикална x = 0. Две косе y = x + 1 и y = - x - 1.
6. ...