Математика 1/Фебруар 2020

Теорија

1. Дефинисати следеће појмове:
   1. Тачка нагомилавања
   2. Функција f ограничена на скупу $S \subseteq Dom(f)$
   3. $\lim_{x \to a}{f(x)} = \infty$
2. Навести пример и нацртати скицу функције која је дефинисана на интервалу [-2,3], а да вредности функције на крају интервала имају различит знак и да $\forall x \in [-2,3]: f(x) \neq 0$. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.
3. Ако постоји навести пример функције која има прекид другог реда на x = 3. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују. (непотпуно)
4. Извести по дефиницији $cos^3(x)$
5. Дефинисати косу асимптоту и дефиницију представити на примеру функције $\sqrt{x^2+x+1}$
6. Исказати Фермаову теорему и доказати је.
7. Дефинисати Тејлоров полином реда 3 у тачки x = 1...

Задаци

1. Доказати да је полином P дељив са Q за свако $a \in \mathbb{R} \and n \in \mathbb{N}$: $P(x) = x^{n+2} + 2x^{n+1} - a^3x^{n-2}-ax^2 +(2+a)ax-2a^2$.
2. Одредити параметре тако да полином има две двоструке нуле и наћи те нуле: $x^4 - px^2 + qx + 1$
3. Одредити граничне вредности низова:
   1. $a_n = \frac{1+3+3^2+3^3+\ldots +3^{2n}}{1+9+9^2+9^3+\ldots + 9^n}$
   2. $b_n = \frac{(n+2)!-n(n+1)!}{(n+2)!+3n!}$
4. Одредити граничну вредност функције $\left( \frac{5}{2+\sqrt{9+x}} \right) ^{\frac{1}{sin x}}$
5. Наћи асимптоте функције $f(x) = \left| x+1 \right| e^{-\frac{1}{x}}$
6. За функцију $f(x) = \sqrt[3]{(x^2+2x)^2}$
   1. Одредити монотност и наћи локалне екстремуме
   2. Одредити конкавност и наћи превојне тачке