Математика 1/Фебруар 2020 — разлика између измена

Тренутна верзија на датум 29. јануар 2022. у 22:41

Овај рок није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Теорија

1. задатак

Поставка

Дефинисати следеће појмове:

Тачка нагомилавања
Функција f ограничена на скупу $S \subseteq Dom(f)$
$\lim_{x \to a}{f(x)} = \infty$

Решење

Тачка нагомилавања је реалан број у чијој се свакој околини налази бесконачно много чланова низа
функција f је ограничена на скупу s, који је подскуп домена функције f
Лимес када х тежи а, од функције f(x) једнак је бесконачно.

2. задатак

Поставка

Навести пример и нацртати скицу функције која је дефинисана на интервалу [-2,3], а да вредности функције на крају интервала имају различит знак и да $\forall x \in [-2,3]: f(x) \neq 0$ . Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.

Решење

$f(x) = \frac{1}{x}\$ , за $x \neq 0$
$f(x) = 1$ , за $x = 0$

3. задатак

Поставка

Ако постоји навести пример функције која има прекид другог реда на x = 3. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.

Решење

$f(x) = \frac{-1}{(x-3)^2}\$ , за $x > 3$
$f(x) = e^{\frac{x}{3}-1}$ , за $x \le 3$

4. задатак

Овај задатак није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Извести по дефиницији $cos^3(x)$

5. задатак

Поставка

Дефинисати косу асимптоту и дефиницију представити на примеру функције $\sqrt{x^2+x+1}$

Решење

$\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x} = a$
$\lim_{x \to \infty}{f(x)-a\cdot x} = b$
Ако је $\lim_{x \to \infty}{f(x)-a\cdot x - b} = 0$ , за неко $a \neq 0$ и $b \in R$ , тада праву $y = ax + b$ називамо косом асимптомом функције f.
Ако $x \to -\infty$ , то је лева коса асимптота, а ако $x \to +\infty$ то је десна коса асимптота.

У овом примеру, када $x \to +\infty$ , $a = 1$ i $b = \frac{1}{2}$ , што значи да је $y = x + \frac{1}{2}$ десна коса асимптота функције f. Када $x \to -\infty$ , $a = -1$ i $b = -\frac{1}{2}$ , што значи да је $y = -x - \frac{1}{2}$ лева коса асимптота функције f.

6. задатак

Поставка

Исказати Фермаову теорему и доказати је.

Решење

Исказ - ако функција f има локални екстремум у тачки Х и у тој тачки има и извод, онда је тај извод једнак нули. Ако извод није једнак нули, онда у тој тачки не постоји локални екстремум.
Доказ - Претпоставимо да f има локални максимум у тачки Х. Тада за довољно мало $h > 0$ важи: $f(x+h) \le f(x)$ . Даље је десни извод( $f_+'$ ): $\lim_{x \to 0+}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \le 0$ . За довољно мало $h > 0$ важи и: $f(x-h) \le f(x)$ . Леви извод је( $f_-'$ ): $\lim_{x \to 0-}{\frac{f(x)-f(x-h)}{h}} \ge 0$ . По претпоставци, f има извод у Х, па важи: $f'(x) = f_+' = f_-'$ . С обзиром да $f_+' \le 0$ и да $f_-' \ge 0$ , мора бити $f'(x) = f_+' = f_-' = 0$ . Дакле, $f'(x) = 0$ .

7. задатак

Поставка

Дефинисати Тејлоров полином реда 3 у тачки x = 1...

Решење

$T_3(1) = f(1) + f'(1)\cdot (x-1) + \frac{f''(1)}{2!}\cdot (x-1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}\cdot (x-1)^3$

Задаци

1. задатак

Овај задатак није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Доказати да је полином P дељив са Q за свако $a \in \mathbb{R} \and n \in \mathbb{N}$ : $P(x) = x^{n+2} + 2x^{n+1} - a^3x^{n-2}-ax^2 +(2+a)ax-2a^2$ .

2. задатак

Овај задатак није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Одредити параметре тако да полином има две двоструке нуле и наћи те нуле: $x^4 - px^2 + qx + 1$

3. задатак

Овај задатак није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Одредити граничне вредности низова:

$a_n = \frac{1+3+3^2+3^3+\ldots +3^{2n}}{1+9+9^2+9^3+\ldots + 9^n}$
$b_n = \frac{(n+2)!-n(n+1)!}{(n+2)!+3n!}$

4. задатак

Овај задатак није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Одредити граничну вредност функције $\left( \frac{5}{2+\sqrt{9+x}} \right) ^{\frac{1}{sin x}}$

5. задатак

Овај задатак није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Наћи асимптоте функције $f(x) = \left| x+1 \right| e^{-\frac{1}{x}}$

6. задатак

Овај задатак није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

За функцију $f(x) = \sqrt[3]{(x^2+2x)^2}$

Одредити монотност и наћи локалне екстремуме
Одредити конкавност и наћи превојне тачке

@@ Ред 1: / Ред 1: @@
+{{tocright}}
+{{нерешено}}
 == Теорија ==
-# Дефинисати следеће појмове:
+=== 1. задатак ===
-## Превојна тачка
+==== Поставка ====
-## Функција f ограничена на скупу <math> S \subseteq Dom(f) </math>
+Дефинисати следеће појмове:
-## <math> \lim_{x \to a}{f(x)} = \infty </math>
+# Тачка нагомилавања
-# Ако постоји, навести пример и нацртати скицу функције која је дефинисана на интервалу [-2,3], а да вредности функције на крају интервала имају различит знак и да <math> \forall x  \in [-2,3]:  f(x) \neq 0 </math>. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.
+# Функција f ограничена на скупу <math> S \subseteq Dom(f) </math>
-# Ако постоји навести пример функције која има прекид другог реда на x = 3. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.
+# <math> \lim_{x \to a}{f(x)} = \infty </math>
-# Извести по дефиницији <math> cos^3(x) </math>
+==== Решење ====
-# Дефинисати косу асимптоту и дефиницију представити на примеру функције <math> \sqrt{x^2+x+1} </math>
+# Тачка нагомилавања је реалан број у чијој се свакој околини налази бесконачно много чланова низа
-# Исказати Фермаову теорему и доказати је.
+# функција f је ограничена на скупу s, који је подскуп домена функције f
-# Дефинисати Тејлоров полином реда 3 у тачки x = 1...
+# Лимес када х тежи а, од функције f(x) једнак је бесконачно.
+=== 2. задатак ===
+==== Поставка ====
+Навести пример и нацртати скицу функције која је дефинисана на интервалу [-2,3], а да вредности функције на крају интервала имају различит знак и да <math> \forall x \in [-2,3]: f(x) \neq 0 </math>. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.
+==== Решење ====
+# <math> f(x) = \frac{1}{x}\ </math>, за <math> x \neq 0 </math>
+# <math> f(x) = 1 </math>, за <math> x = 0 </math>
+=== 3. задатак ===
+==== Поставка ====
+Ако постоји навести пример функције која има прекид другог реда на x = 3. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.
+==== Решење ====
+# <math> f(x) = \frac{-1}{(x-3)^2}\ </math>, за <math> x > 3 </math>
+# <math> f(x) = e^{\frac{x}{3}-1} </math>, за <math> x \le 3 </math>
+=== 4. задатак ===
+{{делимично решено}}
+Извести по дефиницији <math> cos^3(x) </math>
+=== 5. задатак ===
+==== Поставка ====
+Дефинисати косу асимптоту и дефиницију представити на примеру функције <math> \sqrt{x^2+x+1} </math>
+==== Решење ====
+# <math> \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x} = a </math>
+# <math> \lim_{x \to \infty}{f(x)-a\cdot x} = b </math>
+# Ако је <math> \lim_{x \to \infty}{f(x)-a\cdot x - b} = 0 </math>, за неко <math> a \neq 0 </math> и <math> b \in R </math>, тада праву <math> y = ax + b </math> називамо косом асимптомом функције f.
+# Ако <math> x \to -\infty </math>, то је лева коса асимптота, а ако <math> x \to +\infty </math> то је десна коса асимптота.
+У овом примеру, када <math> x \to +\infty </math>, <math>a = 1</math> i <math>b = \frac{1}{2}</math>, што значи да је <math> y = x + \frac{1}{2} </math> десна коса асимптота функције f. Када <math> x \to -\infty </math>, <math>a = -1</math> i <math>b = -\frac{1}{2}</math>, што значи да је <math> y = -x - \frac{1}{2} </math> лева коса асимптота функције f.
+=== 6. задатак ===
+==== Поставка ====
+Исказати Фермаову теорему и доказати је.
+==== Решење ====
+# Исказ - ако функција f има локални екстремум у тачки Х и у тој тачки има и извод, онда је тај извод једнак нули. Ако извод није једнак нули, онда у тој тачки не постоји локални екстремум.
+# Доказ - Претпоставимо да f има локални максимум у тачки Х. Тада за довољно мало <math> h > 0 </math> важи: <math> f(x+h) \le f(x) </math>. Даље је десни извод(<math>f_+'</math>): <math> \lim_{x \to 0+}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \le 0 </math>. За довољно мало <math> h > 0 </math> важи и: <math> f(x-h) \le f(x) </math>. Леви извод је(<math>f_-'</math>): <math> \lim_{x \to 0-}{\frac{f(x)-f(x-h)}{h}} \ge 0 </math>. По претпоставци, f има извод у Х, па важи: <math>f'(x) = f_+' =  f_-'</math>. С обзиром да <math>f_+' \le 0</math> и да <math>f_-' \ge 0</math>, мора бити <math>f'(x) = f_+' =  f_-' = 0</math>. Дакле, <math>f'(x) = 0</math>.
+=== 7. задатак ===
+==== Поставка ====
+Дефинисати Тејлоров полином реда 3 у тачки x = 1...
+==== Решење ====
+<math>T_3(1) = f(1) + f'(1)\cdot (x-1) + \frac{f''(1)}{2!}\cdot (x-1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}\cdot (x-1)^3</math>
 == Задаци ==
-# Доказати да је полином P дељив са Q за свако <math> a \in \mathbb{R} \and n \in \mathbb{N} </math>
+=== 1. задатак ===
-# Одредити параметре тако да полином има две двоструке нуле и наћи те нуле: <math> x^4 - px^2 + qx + 1 </math>
+{{делимично решено}}
-# Одредити граничне вредности низова:
+Доказати да је полином P дељив са Q за свако <math> a \in \mathbb{R} \and n \in \mathbb{N} </math>: <math> P(x) = x^{n+2} + 2x^{n+1} - a^3x^{n-2}-ax^2 +(2+a)ax-2a^2 </math>.
-## <math> a_n = \frac{1+3+3^2+3^3+\ldots +3^{2n}}{1+9+9^2+9^3+\ldots + 9^n} </math>
-## <math> b_n = \frac{(n+2)!+n(n+1)!}{(n+2)!+3n!} </math>
+=== 2. задатак ===
-# Одредити граничну вредност функције <math> \left( \frac{5}{2+\sqrt{9+x}} \right) ^{\frac{1}{sin x}} </math>
+{{делимично решено}}
-# Наћи асимптоте функције <math> f(x) = \left| x+1 \right| e^{-\frac{1}{x}} </math>
+Одредити параметре тако да полином има две двоструке нуле и наћи те нуле: <math> x^4 - px^2 + qx + 1 </math>
-# За функцију <math> f(x) = \sqrt[3]{(x^2+2x)^2} </math>
-## Одредити монотност и наћи локалне екстремуме
+=== 3. задатак ===
-## Одредити конкавност и наћи превојне тачке
+{{делимично решено}}
-=== Решења ===
+Одредити граничне вредности низова:
-# Наћи нуле полинома Q. Убацивањем нула у полином P лако се доказује да једначина не зависи ни од ''a'' ни од ''n''.
+# <math> a_n = \frac{1+3+3^2+3^3+\ldots +3^{2n}}{1+9+9^2+9^3+\ldots + 9^n} </math>
-# <math> p = 2; \quad q = 0; \quad x_1 = x_2 = -x_3 = -x_4 = 1 </math>
+# <math> b_n = \frac{(n+2)!-n(n+1)!}{(n+2)!+3n!} </math>
-# ...
-# Применити Лопиталово правило. <math> e^{-\frac{1}{30}} </math>
+=== 4. задатак ===
-# Лева вертикална x = 0. Две косе y = x + 1 и y = - x - 1.
+{{делимично решено}}
-# ...
+Одредити граничну вредност функције <math> \left( \frac{5}{2+\sqrt{9+x}} \right) ^{\frac{1}{sin x}} </math>
+=== 5. задатак ===
+{{делимично решено}}
+Наћи асимптоте функције <math> f(x) = \left| x+1 \right| e^{-\frac{1}{x}} </math>
+=== 6. задатак ===
+{{делимично решено}}
+За функцију <math> f(x) = \sqrt[3]{(x^2+2x)^2} </math>
+# Одредити монотност и наћи локалне екстремуме
+# Одредити конкавност и наћи превојне тачке
+[[Категорија:Рокови]]
+[[Категорија:Математика 1]]

Математика 1/Фебруар 2020 — разлика између измена

Тренутна верзија на датум 29. јануар 2022. у 22:41

Садржај

Теорија

1. задатак

Поставка

Решење

2. задатак

Поставка

Решење

3. задатак

Поставка

Решење

4. задатак

5. задатак

Поставка

Решење

6. задатак

Поставка

Решење

7. задатак

Поставка

Решење

Задаци

1. задатак

2. задатак

3. задатак

4. задатак

5. задатак

6. задатак

Мени за навигацију

Математика 1/Фебруар 2020 — разлика између измена

Тренутна верзија на датум 29. јануар 2022. у 22:41

Теорија

1. задатак

Поставка

Решење

2. задатак

Поставка

Решење

3. задатак

Поставка

Решење

4. задатак

5. задатак

Поставка

Решење

6. задатак

Поставка

Решење

7. задатак

Поставка

Решење

Задаци

1. задатак

2. задатак

3. задатак

4. задатак

5. задатак

6. задатак

Мени за навигацију

Претрага