Изворни код странице Вероватноћа и статистика/К1 2023

{{tocright}}
'''Први колоквијум 2023. године''' одржан је 27. марта и трајао је сат времена. Поставка рока није јавно доступна.

== 1. задатак ==
=== Поставка ===
Коцкица за игру се баца три пута.
<div class="abc-list">
# Догађај <math>A</math>: да ли је бар једном пала шестица
# Догађај <math>B</math>: да ли је у сва три бацања пао различит број
</div>
Одредити <math>P(A)</math> и <math>P(B)</math>.

=== Решење ===
<div class="abc-list">
# Израчунајмо вероватноћу да ниједном није пала шестица: <math>P(\overline{A}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{125}{216}</math>. Из тога добијамо <math>P(A) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}</math>.
# Сви исходи су једнаковероватни. Број свих исхода јесте <math>|\Omega| = 6^3</math> а број погодних исхода можемо да добијемо бирањем три од шест бројева и урачунавањем свих њихових пермутација <math>|B| = \binom{6}{3} \cdot 6</math>. Из тога добијамо <math>P(B) = \frac{\binom{6}{3} \cdot 6}{6^3} = \frac{120}{216} = \frac{5}{9}</math>.
#* Алтернативно, у првом бацању бирамо било који број, у другом било који осим тог којег смо претходно изабрали, а у трећем било који осим претходна два и добијамо <math>P(B) = \frac{6}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{5}{9}</math>
</div>

== 2. задатак ==
=== Поставка ===
У коцку је уписана лопта. Одредити вероватноћу да тачка која припада коцки такође припада лопти.

=== Решење ===
Ово је једноставан количник запремина лопте и коцке. Уколико узмемо да је страница коцке <math>a</math>, онда имамо <math>V_K = a^3</math>. Полупречник лопте, због тога што је лопта уписана у коцку, јесте <math>r = \frac{a}{2}</math>, па је тиме и <math>V_L = \frac{4}{3} r^3 \pi = \frac{4}{3} \cdot \frac{a^3}{8} \pi</math>. Из тога добијамо <math>P(A) = \frac{V_L}{V_K} = \frac{\frac{4}{3} \cdot \frac{a^3}{8} \pi}{a^3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} \pi = \frac{\pi}{6}</math>

== 3. задатак ==
=== Поставка ===
Прва кутија садржи 5 црвених и 6 белих куглица, а друга 4 црвене и 4 беле куглице. Из прве кутије се вади једна куглица без враћања и премешта у другу кутију, а затим се из друге кутије вади једна куглица. Уколико је из друге кутије извучена црвена куглица, колика је шанса да је из прве кутије премештена црвена куглица?

=== Решење ===
Означимо са <math>P(C_1)</math> вероватноћу да је из прве кутије извучена црвена куглица, а са <math>P(C_2)</math> вероватноћу да је из друге кутије извучена црвена куглица. Имамо следеће:
* <math>P(C_1) = \frac{5}{11}</math>, ако се извуче црвена у другој кутији имамо 5 црвених и 4 беле па добијамо <math>P(C_2|C_1) = \frac{5}{9}</math>
* <math>P(\overline{C_1}) = \frac{6}{11}</math>, ако се извуче бела у другој кутији имамо 4 црвених и 5 белих па добијамо <math>P(C_2|\overline{C_1}) = \frac{4}{9}</math>
Преко формуле тоталне вероватноће добијамо вероватноћу да је извучена црвена куглица из друге кутије: <math>P(C_2) = P(C_1)P(C_2|C_1) + P(\overline{C_1})P(C_2|\overline{C_1}) = \frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 11} + \frac{6 \cdot 4}{9 \cdot 11} = \frac{49}{99}</math>.

На крају, преко Бајесове формуле добијамо апостериорну вероватноћу догађаја <math>C_1</math>, <math>P(C_2|C_1) = \frac{P(C_1|C_2)P(C_1)}{P(C_2)} = \frac{\frac{5}{9} \cdot \frac{5}{11}}{\frac{49}{99}} = \frac{25}{49}</math>.

== 4. задатак ==
=== Поставка ===
Коцкица за игру се баца до добијања прве шестице, а максимално четири пута. Ако је случајна променљива <math>X</math> број бацања коцкице, написати закон и функцију расподеле за <math>X</math>, а затим нацртати график функције расподеле.

=== Решење ===
[[Датотека:VIS K1 2023 zadatak 4 grafik.svg|thumb|График функције расподеле из четвртог задатка.]]
Променљива <math>X</math> има 4 могуће вредности:
* <math>P(X = 1) = \frac{1}{6}</math>
* <math>P(X = 2) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}</math>
* <math>P(X = 3) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}</math>
* <math>P(X = 4) = 1 - P(X = 1) - P(X = 2) - P(X = 3) = \frac{216 - 36 - 30 - 25}{216} = \frac{125}{216}</math>
Одатле је закон расподеле: <math>X: \begin{pmatrix}
  1           & 2            & 3              & 4 \\
  \frac{1}{6} & \frac{5}{36} & \frac{25}{216} & \frac{125}{216}
\end{pmatrix}</math>
а функција расподеле: <math>F(X = x) = \left\{\begin{array}{ll}
  0              & x < 1 \\
  \frac{1}{6}    & 1 \leq x < 2 \\
  \frac{11}{36}  & 2 \leq x < 3 \\
  \frac{91}{216} & 3 \leq x < 4 \\
  1              & 4 \leq x
\end{array}\right.</math>

== 5. задатак ==
=== Поставка ===
За случајни вектор <math>(X, Y)</math> дата је следећа табела расподеле:
{| class="wikitable"
|+ Табела расподеле у петом задатку.
! <math>X</math> \ <math>Y</math>
! <math>2</math> !! <math>4</math>
|-
! <math>-1</math>
| <math>\frac{1}{4}</math> || <math>\frac{1}{8}</math>
|-
! <math>0</math>
| <math>\frac{1}{8}</math> || <math>p</math>
|-
! <math>1</math>
| <math>0</math> || <math>\frac{1}{3}</math>
|}
Одредити параметар <math>p</math>, маргиналне законе расподеле, и одредити <math>P(X \leq 0, Y \leq 2)</math>.

=== Решење ===
Параметар <math>p</math> можемо добити тиме што сума свих поља табеле мора дати вредност 1 на крају: <math>p = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} - 0 - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}</math>
{| class="wikitable"
|+ Табела расподеле у решењу петог задатка са маргиналним законима расподеле.
! <math>X</math> \ <math>Y</math>
! <math>2</math> !! <math>4</math> !!
|-
! <math>-1</math>
| <math>\frac{1}{4}</math> || <math>\frac{1}{8}</math> || <math>\frac{3}{8}</math>
|-
! <math>0</math>
| <math>\frac{1}{8}</math> || <math>\frac{1}{6}</math> || <math>\frac{7}{24}</math>
|-
! <math>1</math>
| <math>0</math> || <math>\frac{1}{3}</math> || <math>\frac{1}{3}</math>
|-
!
| <math>\frac{3}{8}</math> || <math>\frac{5}{8}</math> ||
|}
На основу ове табеле можемо израчунати <math>P(X \leq 0, Y \leq 2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}</math>.

[[Категорија:Рокови]]
[[Категорија:Вероватноћа и статистика]]