Сигнали и системи/Теорија

Сигнали

Подела

1. Прва подела
   1. Континуални (CT): $x(t): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
   2. Дискретни (DT): $x[n]: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$
2. Друга подела
   1. Детерминистички
   2. Недетерминистички

Основни сигнали

CT

1. Јединични одскочни сигнал: $u(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & t > 0 \\ 0 & t < 0 \\ u(0) & t = 0 \end{array} \right.$
2. Дираков импулс:
   1. $(\forall t \neq 0) \delta(t) = 0$
   2. $\delta(0)$ није дефинисано
   3. $\varepsilon > 0, \int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} \delta(t) dt = 1$
3. Веза између $u(t)$ и $\delta(t)$: $\frac{du(t)}{dt} = \delta(t)$
4. Особина селективности Дираковог импулса: $\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \delta(t - t_0) dt = x(t_0)$

Експоненцијални CT сигнали

• Облик: $e^{At}$
• $\sin(x) = \frac{e^{j\alpha} - e^{-j\alpha}}{2j}$
• $\cos(x) = \frac{e^{j\alpha} + e^{-j\alpha}}{2}$
• $A = \lambda$:
  • $\lambda > 0$: сигнал дивергира
  • $\lambda < 0$: сигнал конвергира
• $A = j\omega$
  • $x(t) = e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j \sin(\omega t)$
  • Периодичност са периодом $T$: $(\exists T > 0) (\forall t) x(t) = x(t + T)$
  • Кружна учестаност: $\omega = \frac{2\pi}{T}$
  • Фреквенција: $f = \frac{1}{T}$
  • Збир два периодична сигнала периода $T_1$ и $T_2$:
    • Периода збирног сигнала: $T = mT_1 = nT_2$
    • Услов периодичности: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{n}{m} \in \mathbb{Q}$
• $A = r + j\omega$
  • $x(t) = e^{rt} (\cos(\omega t) + j\sin(\omega t))$
  • $r$ — пригушење

DT

1. Јединични одскочни сигнал: $u[n] = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & n \geq 0 \\ 0 & n < 0 \end{array} \right.$
2. Јединични дискретни импулс: $\delta[n] = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & n = 0 \\ 0 & n \neq 0 \end{array} \right.$

Експоненцијални DT сигнали

• Облик: $x[n] = a^n$
• $a \in \mathbb{R}$
  • $a > 0$: сигнал је дивергентан
  • $a \in (0, 1)$: сигнал је конвергентан
  • $a \in (-1, 0)$: сигнал је алтернирајуће конвергентан
  • $a < -1$: сигнал је алтернирајуће дивергентан
• $a = e^{j\Omega}$
  • $x[n] = \cos(\Omega n) + j\sin(\Omega n)$ (нису нужно периодични)
  • Услов периодичности: $(\exists k \in \mathbb{N}) \frac{2k\pi}{\Omega} \in \mathbb{N}$
  • Разлика од CT експоненцијалних сигнала: $\omega_1 \neq \omega_2 \implies e^{j\omega_1 t} \neq e^{j\omega_2 t}$ али $\Omega_1 \neq \Omega_2 \implies e^{j\Omega_1 n} \neq e^{j\Omega_2 n}$ само ако $\Omega_1 - \Omega_2 = 2\pi n$

Трансформације временске променљиве

• Померање у времену: $y(t) = x(t - t_0)$
• Рефлексија (инверзија времена): $y(t) = x(-t)$
• Скалирање времена: $y(t) = x(at), a \in \mathbb{R}$
  • Код DT сигнала ово изазива децимацију (скупљање) или интерполацију (ширење).
  • Типови интерполације (за $y[n] = x[an], a > 0$):
    • Линеарна
    • Најближи сусед
    • Квадратна
    • Сплајн

Симетричност сигнала

• Парни сигнал: $(\forall t) x(t) = x(-t)$
• Непарни сигнал: $(\forall t) x(t) = -x(-t)$
• Парни део сигнала: $Ev \{x(t)\} = \frac{x(t) + x(-t)}{2}$
• Непарни део сигнала: $Od \{x(t)\} = \frac{x(t) - x(-t)}{2}$

Конволуција сигнала

• $x(t) * y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) y(t - \tau)$
• Комутативност: $x(t) * y(t) = y(t) * x(t)$
• Асоцијативност: $(x(t) * y(t)) * z(t) = x(t) * (y(t) * z(t))$
• Дистрибутивност конволуције према сабирању: $(x(t) + y(t)) * z(t) = x(t) * z(t) + y(t) * z(t)$

Системи

Подела

1. Прва подела
   1. Биолошки
   2. Друштвени
   3. Механички
      • трансдјусери (претварају једну физичку величину у другу)
      • филтри (избацују непожељне особине из сигнала)
      • анализатори (извлаче информације из сигнала)
      • генератори (стварају сигнале)
      • компензатори (поправљају особине других система)
      • комуникациони медијуми (преносе сигнале)
2. Друга подела
   1. Континуални (CT)
   2. Дискретни (DT)
3. Трећа подела
   1. SISO (Single Input Single Output)
   2. MISO (Multiple Input Single Output)
   3. SIMO (Single Input Multiple Output)
   4. MIMO (Multiple Input Multiple Output)
4. Системи са негативном повратном спрегом (смањују улазни сигнал при повећању излазног сигнала)

Особине система

Поседовање меморије

За континуални (дискретни) систем кажемо да нема меморију ако одзив у тренутку $t$ ($n$) зависи искључиво од побуде у истом тренутку $x(t)$ ($x[n]$).

Каузалност (последичност)

За континуални (дискретни) систем кажемо да је каузалан ако одзиву у тренутку $t$ ($n$) зависи искључиво од побудног сигнала за аргумент $\tau \leq t$ ($m \leq n$)

Линеарност = хомогеност + адитивност

• За систем кажемо да је хомоген ако за $k$ пута већу побуду генерише $k$ пута већи одзив за било коју побуду и за било које $k$.
• Адитивност: $x_1(t) \to y_1(t) \land x_2(t) \to y_2(t) \implies x_3(t) = x_1(t) + x_2(t) \to y_3(t) = y_1(t) + y_2(t)$
• Суперпозиција: $x_1(t) \to y_1(t) \land x_2(t) \to y_2(t) \implies x_3(t) = ax_1(t) + bx_2(t) \to y_3(t) = ay_1(t) + by_2(t)$

Стационарност (временска непроменљивост)

За континуални (дискретни) систем кажемо да је стационаран ако из претпоставке да је за побуду $x(t)$ ($x[n]$) он дао одзив $y(t)$ ($y[n]$) следи чињеница да ће за побуду $x(t - t_0)$ ($x[n - n_0]$) одзив система бити $y(t - t_0)$ ($y[n - n_0]$) за свако $t_0$ ($n_0$) и за свако $x(t)$ ($x[n]$).

BIBO стабилност

$(\exists B_1) (\forall t) |x(t)| \leq B_1 \implies (\exists B_2) (\forall t) |y(t)| \leq B_2$

LTI системи

• Системи који су линеарни и временски непроменљиви.
• Импулсни одзив $h(t)$ је одзив LTI система када му се као побуда да Дираков импулс.
• $y(t) = x(t) * h(t)$
• Нема меморију $\implies h(t) = k\delta(t)$
• Каузалан је $\implies (\forall t < 0) h(t) = 0$
• Потребан и довољан услов да CT (DT) LTI систем буде BIBO стабилан јесте да његов импулсни одзив буде апсолутно интеграбилан (сумабилан).
• Редна (каскадна) веза LTI система: $h_e(t) = h_1(t) * h_2(t)$
• Паралелна веза LTI система: $h_e(t) = h_1(t) + h_2(t)$
• Симулациони блок дијаграм:
  • Компоненте: интегратор ($y(t) = \int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau$, само код CT), кашњење ($y[n] = x[n-1]$, само код DT), множач ($y(t) = ax(t)$), сабирач ($y(t) = \sum_{k = 1}^{n} x_k(t)$)
  • Директна метода прављења симулационог блок дијаграма: Интегралимо једначину онолико пута колики је ред диференцијалне једначине, раставимо на појединачне интеграле, те сигнале провучемо кроз интеграторе онолико пута колико су интеграљени, сваки провучемо кроз множач који их множи са коефицијентом испред интеграла и на крају све провучемо кроз сабирач и доведемо на излаз.
  • Каноничка метода: Не раздвајају се интеграли, већ се прво оформе сигнали унутар њих па се затим провуку кроз интеграторе и на крају кроз сабирач.

Фуријеови редови

Увод

• Сопствене функције (eigen functions) су функције које у конволуцији са другим функцијама враћају саме себе помножене са неком вредношћу (која се назива сопствена вредност - eigen value).
• Фуријеова хипотеза: Сваки сигнал $x(t)$ који је периодичан са кружном учестаношћу $\omega_0$ може да се напише помоћу тригонометријског реда (Фуријеовог реда): $\sum_{-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}$
• Коефицијенти Фуријеовог реда: $a_k = \frac{1}{T} \int_T x(t) e^{-jk\omega_0 t}$
  • За реалне сигнале важи $a_k = a_{-k}^{*}$
• Форме Фуријеовог реда за реалне сигнале:
  • $x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}$
  • $x(t) = a_0 + 2 \sum_{k = 1}^{+\infty} a_k \cos(k\omega_0 t + \theta_k)$
  • $a_k = B_k + jC_k$, $x(t) = a_0 + 2 \sum_{k = 1}^{+\infty} B_k \cos (k\omega_0 t) - C_k \sin(k\omega_0 t)$
• Кажемо да Фуријеов ред конвергира ако је задовољен услов да $\lim_{L \to \infty} E_L = 0$. Сигнал $x(t)$ треба да задовољи један од три услова да би његов ред конвергирао:
  1. $x(t)$ је непрекидна функција времена: $\lim_{a \to 0^+} x(t - a) = x(t) = \lim_{a \to 0^+} x(t + a)$
  2. $\int_T |x(t)|^2 dt < \infty$
  3. $\int_T |x(t)| dt < \infty$ и испуњени су Дирихлеови услови:
     1. Број минимума и максимума дуж периоде мора бити коначан
     2. Број прекида дуж једне периоде мора бити коначан
• Амплитудски спектар: $\left|X(j\omega)\right|$
• Фазни спектар: $arg X(j\omega)$
• Гибсов ефекат указује на феномен који се појављује када периодичну функцију са прекидом апроксимирамо Фуријеовим редом. Тада ће у околини тачке прекида са повећавањем броја сабирака у апроксимацији максимум грешке апроксимације имати константну вредност (око 0.18 пута вредности функције у околини тачке прекида).

Фуријеова трансформација

• Синтетичка релација: $x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} x(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$
• Аналитичка реалција: $x(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt$
• Честе трансформације:
  • $\delta(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} 1$
  • $u(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{j\omega} + \pi \delta(\omega)$
  • $e^{-at} u(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{a + j\omega}$
  • $e^{-at} x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(a + j\omega)$
• Конвергенција Фуријеове трансформације: $\hat{x}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$, $\int_{-\infty}^{+\infty} \left|x(t) - \hat{x}(t)\right|^2 dt = 0$
• Хајзенбергов принцип неодређености: Трајање сигнала у временском и фреквенцијском домену је обрнуто реципрочно.
• Ликови сличног облика сигнала у временском односно фреквенцијском домену ће такође бити веома слични.
• Принцип дуалности: $\frac{1}{2\pi}\xrightarrow{\mathcal{F}} \delta(j\omega)$
• Фуријеова трансформација периодичних сигнала: $x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} 2\pi \sum_{k = -\infty}^{+\infty} a_k \delta(\omega - k\omega_0)$
• Особине Фуријеове трансформације:
  • линеарност: $ax_1(t) + bx_2(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} aX_1(j\omega) + bX_2(j\omega)$
  • померање у времену:
    • $x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{F}} e^{-j\omega t_0} x(j\omega) = x_1(j\omega)$
    • $\left|X_1(j\omega)\right| = \left|X(j\omega)\right|$
    • $arg X_1(j\omega) = arg X(j\omega) - \omega t_0$ (линеарно померање фазе)
  • померање у фреквенцијском домену: $e^{j\omega_0 t} x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} X(j(\omega - \omega_0))$
  • амплитудска модулација: $y(t) = \left[x(t) + B\right] \cos(\omega_C t + \Phi)$, $B$ — bias, $\omega_C$ — учестаност носиоца (carrier frequency)
  • скалирање по времену и учестаности: $x(at) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{|a|} X\left(j\frac{\omega}{a}\right)$
  • диференцирање и интеграљење:
    • у временском домену:
      • $\frac{dx(t)}{dt} \xrightarrow{\mathcal{F}} j\omega X(j\omega)$
      • $\int_{-\infty}^t x(\tau) d\tau \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{j\omega} X(j\omega) + \pi \delta(\omega) X(j0)$
    • у фреквенцијском домену:
      • $-jtx(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{dX(j\omega)}{d\omega}$
      • $-\frac{1}{jt} x(t) + \pi \delta(t) x(0) \xrightarrow{\mathcal{F}} \int_{-\infty}^{\omega} X(j\lambda) d\lambda$
  • конволуција сигнала: $x(t)*h(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} X(j\omega)Y(j\omega)$
  • производ сингала: $x(t)y(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{2\pi}X(j\omega) * Y(j\omega)$
  • симетричност сигнала:
    • $x^{*}(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} X^{*}(j\omega)$
    • За реалне сигнале: $x(t) = x^{*}(t) \implies X(j\omega) = X^{*}(-j\omega)$
    • $\left|X(j\omega)\right| = \left|X(-j\omega)\right| \implies$ амплитудски спектар реалног сигнала је парна функција
    • $arg X(j\omega) = -arg X(-j\omega) \implies$ фазни спектар реалног сигнала је непарна функција
    • $Ev \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Re \{X(j\omega)\}$
    • $Odd \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Im \{X(j\omega)\}$
• Парсевалова теорема: $E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} \left|x(t)\right|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left|X(j\omega)\right|^2 d\omega$
  • за периодичне сигнале: $P_x = \frac{1}{T} \int_T \left|x(t)\right|^2 dt = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \left|a_k\right|^2$
• Шенонова теорема о одабирању: Ако не желимо да дође до преклапања, $\omega_0 - \omega_g$ треба да буде већа од $\omega_g$ ($\omega_0 > 2\omega_g$)
• Фреквенцијски одзив LTI система: $H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}$

Бодеова анализа система

• $H(j\omega) = K \frac{\frac{j\omega}{b} + 1}{\frac{j\omega}{a} + 1}$, $a$ — пол, $b$ — нула
• Сваки пол у нашој фреквенцијској карактеристици обара нагиб амплитудске карактеристике за $-20\frac{dB}{dec}$, а на фазну карактеристику утиче тако што јој мења нагиб за $-\frac{\pi}{2}$. Свака нула ради обрнуто.

Лапласова трансформација

Увод

• Аналитичка релација: $X(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-st} dt$, $s = \sigma + j\omega$
• Веза између Лапласове и Фуријеове трансформације: $X(s) = \mathcal{L} \{ x(t) \} = \mathcal{F} \{ h(t) e^{\sigma t} \}$
  • Конвергенција Лапласове трансформације $\mathcal{L} \{ x(t) \}$ се своди на конвергенцију $\mathcal{F} \{ h(t) e^{\sigma t} \}$.
• Синтетичка релација: $x(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\omega}^{\sigma + j\omega} X(s) e^{st} ds$
• За $X(s) = \frac{A^m(s)}{B^n(s)}$, вредности $s$ за које је $A(s) = 0$ називају се нуле система, а вредности $s$ за које је $B(s) = 0$ полови.
• Битне трансформације:
  • $\delta(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} 1$, ROC: $\forall s$
  • $u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{s}$, ROC: $Re \{ s \} > 0$
  • $e^{-at} u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{s + a}$, ROC: $Re \{ s \} > -a$
  • $\sin(\omega_0 t) u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}$, ROC: $Re \{ s \} > 0$
  • $\cos(\omega_0 t) u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{s}{s^2 + \omega_0^2}$, ROC: $Re \{ s \} > 0$
  • $e^{-at} \sin(\omega_0 t) u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{\omega_0}{(s + a)^2 + \omega_0^2}$, ROC: $Re \{ s \} > -a$
  • $e^{-at} \cos(\omega_0 t) u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{s + a}{(s + a)^2 + \omega_0^2}$, ROC: $Re \{ s \} > -a$
• Особине Лапласове трансформације:
  • линеарност: исто као код Фуријеове трансформације
  • померање у времену: $x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{L}} e^{-st_0} X(s)$
  • модулација: $X(s - s_0) \xrightarrow{\mathcal{L}} e^{s_0t} x(t)$
  • скалирање: $x(at) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{\left|a\right|} X\left(\frac{s}{a}\right)$
  • диференцирање:
    • $\frac{dx(t)}{dt} \xrightarrow{\mathcal{L}} sX(s)$
    • $\frac{dX(s)}{ds} \xrightarrow{\mathcal{L}} -tx(t)$
  • интеграљење: $\int_{-\infty}^t x(\tau) d\tau \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{s} X(s)$
  • конволуција: исто као код Фуријеове трансформације

Функција преноса система

• $H(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t) e^{-st} dt$
• $Y(s) = X(s) H(s)$
• Услов каузалности: $Re \{ s \} > \sigma_{max}$
• LTI систем је стабилан уколико његова $j\omega$-оса припада ROC Лапласове трансформације његовог одзива.
• Потребан и довољан услов да каузалан LTI систем буде стабилан је да сви полови система буду у левој полуравни, а за антикаузалан у десној.
• Редна веза: $H_e(s) = H_1(s) H_2(s)$
• Паралелна веза: $H_e(s) = H_1(s) + H_2(s)$
• Негативна повратна спрега: $H_e(s) = \frac{H_1(s)}{1 + H_1(s) H_2(s)}$

Једнострана Лапласова трансформација

• $X(s) = \int_0^{+\infty} x(t) e^{-st} dt$ (за каузалне системе)
• Диференцирање у времену:
  • $\frac{dx(t)}{dt} \xrightarrow{\mathcal{L}} sX(s) - x(0)$
  • $\frac{d^nx(t)}{dt^n} \xrightarrow{\mathcal{L}} s^nX(s) - s^{n-1} x(0) - s^{n-2} x'(0) - ... - x^{(n-1)}(0)$
• Граничне теореме Лапласове трансформације:
  1. $x(0) = \lim_{s \to \infty} sX(s)$
  2. $x(\infty) = \lim_{s \to 0} sX(s)$, само ако су сви полови $X(s)$ у левој полуравни

Зед трансформација

• Аналитичка релација: $X(z) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x[n] z^{-n}$
• Синтетичка релација: $x[n] = \frac{1}{2\pi j} \oint_{\Gamma} X(z) z^{n-1} dz$
• Битне трансформације:
  • $\delta[n] \xrightarrow{\mathcal{Z}} 1$, ROC: $\left|z\right| \geq 0$
  • $u[n] \xrightarrow{\mathcal{Z}} \frac{z}{z - 1}$, ROC: $\left|z\right| > 1$
  • $-u[-n-1] \xrightarrow{\mathcal{Z}} \frac{z}{z - 1}$, ROC: $\left|z\right| < 1$
  • $a^n u[n] \xrightarrow{\mathcal{Z}} \frac{z}{z - a}$, ROC: $\left|z\right| > \left|a\right|$
  • $-a^n u[-n-1] \xrightarrow{\mathcal{Z}} \frac{z}{z - a}$, ROC: $\left|z\right| < \left|a\right|$
  • $r^n \sin(\Omega_0 n) u[n] \xrightarrow{\mathcal{Z}} \frac{r \sin(\Omega_0) z^{-1}}{1 - 2r\cos(\Omega_0) z^{-1} + r^2 z^{-2}}$, ROC: $\left|z\right| > \left|r\right|$
  • $r^n \cos(\Omega_0 n) u[n] \xrightarrow{\mathcal{Z}} \frac{1 - r \cos(\Omega_0) z^{-1}}{1 - 2r\cos(\Omega_0) z^{-1} + r^2 z^{-2}}$, ROC: $\left|z\right| > \left|r\right|$
• Особине Зед трансформације:
  • линеарност: исто као код Фуријеове трансформације
  • померање у времену: $x[n - n_0] \xrightarrow{\mathcal{Z}} z^{-n_0} X(z)$
  • модулација: $z_0^n x[n] \xrightarrow{\mathcal{Z}} X\left(\frac{z}{z_0}\right)$, ROC: $R' = \left|z_0\right| R$
  • инверзија у времену: $x[-n] \xrightarrow{\mathcal{Z}} X(z^{-1})$, ROC: $R' = \frac{1}{R}$
  • конволуција: исто као код Лапласове трансформације
• Функција дискретног преноса: $h[n] \xrightarrow{\mathcal{Z}} H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}$
• Фреквенцијски одзив система: $H(e^{j\Omega}) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} h[n] e^{-j\Omega n}$
• Услов каузалности LTI система: ROC не садржи координатни почетак
• Потребан и довољан услов да:
  • дискретни LTI систем буде BIBO стабилан: јединична кружница припада области конвергенције
  • дискретни каузални LTI систем буде BIBO стабилан: сви полови функције дискретног преноса морају бити унутар јединичног круга
  • дискретни антикаузални LTI систем буде BIBO стабилан: сви полови функције дискретног преноса морају бити ван јединичног круга
• Једнострана Зед трансформација: $X(z) = \sum_{n = 0}^{+\infty} x[n] z^{-n}$
  • Предњачење: $x[n + n_0] \xrightarrow{\mathcal{Z}} z^{n_0} X(z) - z^{n_0} x[0] - z^{n_0 - 1} x[1] - ... - x[n_0-1]$
  • Граничне теореме Зед трансформације:
    1. $x[0] = \lim_{z \to \infty} X(z)$
    2. $x[\infty] = \lim_{z \to 1} (1 - z^{-1}) X(z) = \lim_{z \to 1} (z - 1) X(z)$ (ако су сви полови функције дискретног преноса унутар јединичног круга)