PRM/Predrok 2022

Ovaj rok nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Predrok 2022. godine je održan 3. decembra u sali 70. Postojala je mogućnost izlaska na ispit i u januarskom roku za studente nezadovoljne ocenom. Ispit je rađen na Moodle platformi, bez dostupnih okruženja uz dostupne materijale sa predavanja.

Zadaci

1. zadatak

Postavka

Napisati komande u Latehu kojima se rekonstruiše tekst i formatiranje sa slike ispod (ovde prepisano kao tekst).

1. Rešiti sistem jednačina na dva načina, korišćenjem inverzne matrice i primenom Kramerovih pravila:

   $2x +3y - 5z = -7$

   $-3x +2y - z = -9$

   $4x -y + 2z = 17$

   (z i rešenje treba da budu poravnati).

2. Izračunati integral:

   $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{2 \sin{x} + 3 \cos{x}}. (1)$

Rešenje

\begin{enumerate}
    \item Re\v siti sistem jedna\v cina na \textit{dva na\v cina}, kori\v s\' cenjem inverzne matrice i \\ primenom Kramerovih pravila:
    \begin{align*}
        2x + 3y - 5z &= -7 \\
        -3x + 2y + z &= -9 \\
        4x - y + 2z &= 17
    \end{align*}

    \item Izra\v cunati integral
    \begin{equation}
        I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{2\sin{x} + 3\cos{x}}
    \end{equation}
\end{enumerate}

2. zadatak

Postavka

Napisati komande u GNU Octave kojima se:

• definiše funkcija $f(x) = \frac{\cos^2{x}}{1+\sin^2{x}}$;
• crta grafik funkcije $f(x)$;
• izračunava vrednost integrala $I = \int_0^{\pi} f(x) dx$.

Rešenje

pkg load symbolic

syms x

f = cos(x)^2 / (1+sin(x)^2)

fh = function_handle(f);

x_val = linspace(-10, 10, 1000);
y_val = fh(x_val);

plot(x_val, y_val)
xlabel("x")
ylabel("f(x)")
title("Grafik:")
legend("f(x)")

int_f = int(f, x, 0, pi);
double(int_f)

3. zadatak

Postavka

Laplasova transformacija funkcije $f$ se definiše na sledeći način: $L(s) = \int_0^{+\infty} f(t) e^{-st} dt$

Napisati komande u SageMath kojima se određuje Laplasova transformacija funkcije $f(t) = 5te^{t-3}$. (Napomena: pretpostaviti da je $s>1$.)

Rešenje

pkg load symbolic
syms t s
f = 5*t*exp(t - 3);
L = laplace(f, t, s)

4. zadatak

Postavka

Napisati komande u Python-u kojima se određuju tangenta i normala funkcije $f(x) = x^2-3x+2$ u tački (2,0).

Napisati komande u Python-u za crtanje date parabole i njene tangente.

Rešenje

import numpy as np
import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt

x = sp.Symbol('x')
f = x**2 - 3*x + 2
x0 = 0
y0 = 2

der = sp.diff(f, x)
slope = der.subs(x, x0)
tangent = slope*(x - x0) + y0

f_num = sp.lambdify(x, f, "numpy")
tangent_num = sp.lambdify(x, tangent, "numpy")
x_vals = np.linspace(-2, 3, 400)

plt.figure(figsize=(7, 5))
plt.plot(x_vals, f_num(x_vals), label=r"$f(x) = x^2 - 3x + 2$")
plt.plot(x_vals, tangent_num(x_vals), "--", label="Tangenta")
plt.scatter(x0, y0)

plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("Grafik funkcije i tangente")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

5. zadatak

Postavka

Napisati komande u Python-u koje rešavaju zadati sistem jednačina na dva načina, simbolički i numerički.

• $2x+3y-5z = -7$
• $-3x+2y+z = -9$
• $4x-y+2z = 17$

Rešenje

import sympy as sp

x, y, z = sp.symbols('x y z')

eq1 = sp.Eq(2*x + 3*y - 5*z, -7)
eq2 = sp.Eq(-3*x + 2*y + z, -9)
eq3 = sp.Eq(4*x - y + 2*z, 17)

solution = sp.solve((eq1, eq2, eq3), (x, y, z))
solution


import numpy as np

A = np.array([
    [2,  3, -5],
    [-3, 2,  1],
    [4, -1,  2]
], dtype=float)

b = np.array([-7, -9, 17], dtype=float)

solution = np.linalg.solve(A, b)
x, y, z = solution
print(f"x = {x:.0f}, y = {y:.0f}, z = {z:.0f}")

Napomene

• Za stvari koje nisu pisale u materijalima, priznavano je bilo šta.
• Za Octave, ukoliko se definiše funkcija, mora se u komentaru naglasti da se to radi u posebnom fajlu koji se zove kao funkcija, inače -1 poen.
• Iako je pri obilasku rekla da je to u redu, profesorka je skinula poene za pisanje ošišanom latinicom u zadatku sa LaTeX-om.
• Za ne definisanje simbola u Pajtonu skidan je jedan poen.