Matematika 2/Februar 2021

Ovaj rok nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Ispit u februarskom roku 2021. godine održan je 20. februara.

Prvi deo

1. zadatak

Postavka

[6+5] Data je funkcija dve promenljive $f(x,t) = e^{x-t}(x^2-2t^2)$.

1. Odrediti tačke lokalnih ekstrema funkcije $f(x,t)$.
2. Odrediti veličinu površine ograničene krivom $y=f(x,0)$ i pravama $x=1$ i $y=0$.

2. zadatak

Postavka

[11] Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine $ay''-(2a+1)y'+2y=e^{ax}$.

Drugi deo

1. zadatak

Postavka

[3+2+3+3] Data je matrica $A= \begin{bmatrix} -5 & -6 & -3 \\ 3 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix}$, $a \in \mathbb{R}$.

1. Odrediti sve vrednosti realnog parametra $a$ tako da matrica $A$ ima dvostruku sopstvenu vrednost.
2. Za $a=3$ odrediti sve sopstvene vrednosti matrice $A$.
3. Za $a=-1$ odrediti sopstveni vektor koji odgovara najvećoj sopstvenoj vrednosti.
4. Za $a=-2$ odrediti minimalni polinom matrice $A$.

2. zadatak

Postavka

[5+3+3]

1. Neka je u ravni dato $n$ , $n \in \mathbb{N}$ , tačaka od kojih nikoje tri ne pripadaju istoj pravoj. Ako je broj četvorouglova određenih ovim tačkama osam puta veći od broja trouglova, koliko ima pravih određenih ovim tačkama?
2. Dat je trougao $\triangle ABC$ sa temenima $A(2,1,0)$ $B(3,1,1)$ i $C(4,3,1)$ .
   1. Naći ugao između stranica $AB$ i $AC$.
   2. Naći visinu iz temena $A$ na stranicu $BC$ .