Математика 2/Фебруар 2021

Овај рок није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Испит у фебруарском року 2021. године одржан је 20. фебруара.

Први део

1. задатак

Поставка

[6+5] Дата је функција две променљиве $f(x,t) = e^{x-t}(x^2-2t^2)$.

1. Одредити тачке локалних екстрема функције $f(x,t)$.
2. Одредити величину површине ограничене кривом $y=f(x,0)$ и правама $x=1$ и $y=0$.

2. задатак

Поставка

[11] Одредити опште решење диференцијалне једначине $ay''-(2a+1)y'+2y=e^{ax}$.

Други део

1. задатак

Поставка

[3+2+3+3] Дата је матрица $A= \begin{bmatrix} -5 & -6 & -3 \\ 3 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix}$, $a \in \mathbb{R}$.

1. Одредити све вредности реалног параметра $a$ тако да матрица $A$ има двоструку сопствену вредност.
2. За $a=3$ одредити све сопствене вредности матрице $A$.
3. За $a=-1$ одредити сопствени вектор који одговара највећој сопственој вредности.
4. За $a=-2$ одредити минимални полином матрице $A$.

2. задатак

Поставка

[5+3+3]

1. Нека је у равни дато $n$ , $n \in \mathbb{N}$ , тачака од којих никоје три не припадају истој правој. Ако је број четвороуглова одређених овим тачкама осам пута већи од броја троуглова, колико има правих одређених овим тачкама?
2. Дат је троугао $\triangle ABC$ са теменима $A(2,1,0)$ $B(3,1,1)$ и $C(4,3,1)$ .
   1. Наћи угао између страница $AB$ и $AC$.
   2. Наћи висину из темена $A$ на страницу $BC$ .