Matematika 2/Jun 2021

Ovaj rok nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Junski rok 2021. godine održan je 13. juna. Popravni kolokvijum je nosio 12 bodova, a ispit 24.

Popravni kolokvijum

1. zadatak

Postavka

[3+3] Naći sledeće neodređene integrale:

1. $\int \frac{x^3}{\left(x^2+1 \right) \sqrt{x^2+1}} dx$
2. $\int \frac{x(ln(1+x)+ln(1-x))^2}{x^2-1} dx$

2. zadatak

Postavka

[6] Izračunati površinu figure ograničene lukom krive: $f(x)=e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{-x}}$, pravom $x=1$ i $x$-osom.

Ispit

1. zadatak

Postavka

[4+2] Data je diferencijalna jednačina prvog reda $y'cosx+ysinx=2cos^3xsinx-1, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$.

1. Naći opšte rešenje date diferencijalne jednačine.
2. Naći ono rešenje $y_p(x)$ date diferencijalne jednačine koje zadovoljava uslov $y_p\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3\sqrt{2}$.

2. zadatak

Postavka

[6] Data je matrica $A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -3 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & a+1 \end{bmatrix}$. U zavisnosti od vrednosti realnog parametra $a$, odrediti rang date matrice $A$.

3. zadatak

Postavka

[2+2+2] Ispitati konvergenciju sledećih redova i ukoliko su redovi konvergentni, sumirati ih:

1. $\sum^{+\infty}_{n=1} \sqrt[n]{31}-\sqrt[n+1]{31}$
2. $\sum^{+\infty}_{n=1} \frac{n^3}{{\left( \frac{1}{10} + \frac{1}{n} \right)}^n}$
3. $\sum^{+\infty}_{n=1} \frac{(2n)!}{n2^{2n}}$

4. zadatak

Postavka

[4+2] Date su prave:

$p: x=1+2t, y=1-t, z=3t$,

$q: x=y, x+y+z=1$ i

$r: x=s, y=1+s, z=2s$, $t, s \in \mathbb{R}$.

1. Odrediti jednačinu ravni $\pi$ koja je paralelna sa pravom $p$ i sadrži pravu $q$.
2. Odrediti koordinate tačke preseka $\pi$ sa pravom $p$.