Verovatnoća i statistika/Avgust 2021

Ispit u avgustovskom ispitnom roku 2021. godine trajao je 90 minuta. Postavka roka nije dostupna sa stranice predmeta.

1. zadatak

Postavka

Date su promenljive $X$ i $Y$, $Y = 2X + 1$. Ako $X \sim Unif[0, 2]$, naći $\rho(X, Y)$.

Rešenje

• $X \sim Unif[0, 2]$
  • $EX = 1$
  • $VarX = \frac{1}{3}$
  • $E(X^2) = VarX + (EX)^2 = \frac{4}{3}$
• $Y = 2X + 1$
  • $EY = 2EX + 1 = 3$
  • $VarY = Var(2X + 1) = Var2X = 4VarX = \frac{4}{3}$
• $Cov(X, Y) = E(XY) - EX \cdot EY = E(2X^2 + X) - 3 = 2E(X^2) + EX - 3 = \frac{2}{3}$
• $\rho(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{VarX} \sqrt{VarY} } = \frac{\frac{2}{3} }{\sqrt{\frac{4}{9} } } = 1$

2. zadatak

Postavka

1. Kako glasi Čebiševljeva nejednakost, izvesti je.
2. Ukoliko radi 10000 sijalica, odrediti gornju granicu za $P(|X - EX| < 200)$.

Rešenje

Čebiševljeva nejednakost i njeno izvođenje mogu se pronaći na stranici sa sažetom teorijom.

3. zadatak

Ovaj zadatak nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Postavka

Za

-1	0	1	2
$\frac{p}{3}$	$\frac{p}{3}$	$1-p$	$\frac{p}{3}$

oceniti $p$ sa

1. Metodom momenta, uzorak 1, 1, 0, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 2, 2, 2
2. Metodom maksimalne verodostojnosti

4. zadatak

Postavka

Imamo 213 mesta na avionu, šansa da putnik ne dođe na rezervisano mesto je 0.0995. Koliko maksimalno rezervacija možemo napraviti tako da šansa da svako ima mesto bude veća od 0.9?

Rešenje

Broj putnika ima $X \sim Bin(213, 0.9005)$ raspodelu. Kako je $213 \cdot 0.9005 > 5$, dobijamo $\frac{X - 213 \cdot 0.9005}{\sqrt{213 \cdot 0.9005 \cdot 0.0995} } \sim \mathcal{N}(0, 1)$.

Dalje dobijamo:

• $P(X \leq n) = P\left(Z \leq \frac{n - 191.8065}{4.3686}\right) = \Phi\left(\frac{n - 191.8065}{4.3686}\right) > 0.9$
• $\frac{n - 191.8065}{4.3686} > 1.28$
• $n > 1.28 \cdot 4.3686 + 191.8065 \approx 197.4$

Dobijamo da je potrebno 198 ljudi.

5. zadatak

Ovaj zadatak nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Postavka

Odrediti oblast odbacivanja za $\mathcal{N}(\mu, 80^2)$, uzorak je veličine 100. Odrediti i verovatnoću greške drugog reda ukoliko je $\mu = 210$.