Verovatnoća i statistika/Jul 2022

Julski rok 2022. godine održan je 8. jula. Postavka ovog roka nije dostupna javno, ali su ga predmetni nastavnici objavili kao pripremu za junski rok sledeće godine.

1. zadatak

Postavka

[8p] Dato je obeležje $X$ zakonom raspodele $X: \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1-3p & p & 2p \end{pmatrix}$ i dve ocene nepoznatog parametra $p$: $U = \frac{1}{5n} \sum_{i = 1}^n X_i$ i $V = \frac{1}{9n} \sum_{i = 1}^n X_i^2$. Ispitati centriranost ocena $U$ i $V$, a zatim odrediti koja ocena je efikasnija.

Rešenje

• $EX = p + 4p = 5p$
• $E(X^2) = p + 8p = 9p$
• $E(X^4) = p + 32p = 33p$
• $VarX = E(X^2) - (EX)^2 = 9p - 25p^2$
• $Var(X^2) = E(X^4) - E(X^2)^2 = 33p - 81p^2$
• $EU = \frac{1}{5n} \sum_{i = 1}^n EX_i =$$\frac{n \cdot 5p}{5n} = p \implies U$ je centrirana
• $EV = \frac{1}{9n} \sum_{i = 1}^n E(X_i^2) =$$\frac{n \cdot 9p}{9n} = p \implies P$ je centrirana
• $VarU = \frac{1}{25n^2} \sum_{i = 1}^n VarX_i =$$\frac{n \cdot (9p - 25p^2)}{25n^2} =$$\frac{9p - 25p^2}{25n}$
• $VarV = \frac{1}{81n^2} \sum_{i = 1}^n Var(X_i^2) =$$\frac{33p - 81p^2}{81n}$
• Ispitujemo: $VarU \leq VarV$
  • $\frac{9p - 25p^2}{25n} \leq \frac{33p - 81p^2}{81n}$
  • $81 \cdot 9p - 81 \cdot 25p^2 \leq 25 \cdot 33p - 25 \cdot 81p^2$
  • $729p \leq 825p \implies U$ je efikasnije od $V$ (sigurno važi $p > 0$ na osnovu zakona raspodele u kojem se koristi).

2. zadatak

Postavka

[5p] Na osnovu uzorka obima 10 iz $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ raspodele, sa nepoznatim parametrima $\mu$ i $\sigma^2$ dobijeno je da je $\hat{\mu} = 5.5$, $s^2 = 36$. Naći 95% interval poverenja za nepoznato $\mu$.

Rešenje

• Zbog nepoznatih $\mu$ i $\sigma^2$ parametara tražimo interval poverenja u opsegu $\mu \in \left[\hat{\mu} - \varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}} \frac{s}{\sqrt{n}}, \hat{\mu} + \varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}} \frac{s}{\sqrt{n}}\right]$.
• $\varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}} = \varepsilon_{0.975} = 2.262$ (iz $t(9)$)
• $\mu \in \left[5.5 - 2.262 \frac{6}{\sqrt{10}}, 5.5 + 2.262 \frac{6}{\sqrt{10}}\right]$
• $\mu \in [1.208, 9.792]$

3. zadatak

Postavka

[5p] U 4040 bacanja novčića grb je pao 2048 puta a pismo 1992 puta. Testirati hipotezu da je verovatnoća pojavljivanja grba $H_0: p = 0.5$ protiv alternativne $H_1: p > 0.5$, sa nivoom značajnosti 0.01. Objasniti postupak.

Rešenje

Ovaj događaj ima binomnu raspodelu. Njene parametre možemo proceniti kao $\hat{p} = \frac{2048}{4040} \approx 0.507$ i $s = \sqrt{\hat{p} (1 - \hat{p})} \approx 0.5$, a kao statistiku testa možemo uzeti $\frac{\hat{p} - p}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ koje ima normalnu raspodelu po Moavr-Laplasovoj teoremi. Za oblast odbacivanja uzimamo $C = [c, +\infty)$

Dalje dobijamo: $0.01 = P_{H_0}(S \in C) = P_{H_0}(\hat{p} > c) = P\left(\frac{\hat{p} - 0.5}{0.008} > \frac{c - 0.5}{0.008}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{c - 0.5}{0.008}\right)$. Iz $\Phi\left(\frac{c - 0.5}{0.008}\right) = 0.99$ dobijamo $c = 2.33 \cdot 0.008 + 0.5 = 0.51864$. Kako je $0.507 < 0.51864$, ne odbacujemo hipotezu.

4. zadatak

Postavka

[7p] U toku 100 uzastopnih dana u jednom stanu meren je broj prekida interneta i rezultati su prikazani u sledećoj tabeli:

Rezultati prekida interneta iz četvrtog zadatka.

broj prekida interneta	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
broj dana	15	12	15	22	15	8	5	3	3	2

Na osnovu posmatranog uzorka testirati hipotezu da obeležje ima $\mathcal{N}(\mu, 4)$ raspodelu primenom $\chi^2$-testa sa nivoom značajnosti 0.05.

Rešenje

Parametar $\mu$ procenjujemo metodom momenata: $\mu = \frac{1 \cdot 15 + 2 \cdot 12 + 3 \cdot 15 + 4 \cdot 22 + 5 \cdot 15 + 6 \cdot 8 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 3 + 9 \cdot 3 + 10 \cdot 2}{100} = \frac{401}{100} \approx 4$.

U raspodeli $\mathcal{N}(4, 4)$, $\frac{X - 4}{2}$ ima normalnu raspodelu. Stoga pre računanja $p_{j0}$ moramo izračunati $\frac{X - 4}{2}$:

Tabela za $\chi^2$ testiranje iz četvrtog zadatka sa 10 kolona.

$X$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$\frac{X - 4}{2}$	-1.5	-1	-0.5	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3
$p_{j0}$	0.067	0.092	0.149	0.192	0.1915	0.1498	0.0919	0.044	0.01654	0.0005
$np_{j0}$	6.7	9.2	14.9	19.2	19.15	14.98	9.19	4.4	1.654	0.05

Kako je u poslednje dve kolone $np_{j0} < 5$, spajamo poslednje tri kolone u jednu i dobijamo osam kolona:

Tabela za $\chi^2$ testiranje iz četvrtog zadatka sa 8 kolona.

$X$	1	2	3	4	5	6	7	8+
$p_{j0}$	0.067	0.092	0.149	0.192	0.1915	0.1498	0.0919	0.068
$np_{j0}$	6.7	9.2	14.9	19.2	19.15	14.98	9.19	6.68
$(N_j - np_{j0})^2$	68.89	7.84	0.01	7.84	17.2225	48.7204	17.5561	1.7424
$\frac{(N_j - np_{j0})^2}{np_{j0}}$	10.282	0.852	0.001	0.408	0.899	3.252	1.91	0.261

Suma poslednjeg reda je 17.866. Kako je $\chi^2_{8-1-1;0.99} = 16.812 < 17.866$ odbacujemo hipotezu.