Математика 2/Предавања П2/П3

Ова страница садржи материјале са предавања за групе П2 и П3 код професорки Татјане Лутовац и Марије Рашајски.

Неодређени интеграл

Пропратни материјал: Датотека:M2 Neodređeni integrali P3.pdf

Дефиниција 1: Примитивна функција дате функције $f$ на датом интервалу $I$ је свака функција $F(x)$ за коју важи $(\forall x \in I) F'(x) = f(x)$.

Теорема 1:

1. Ако је $F$ примитивна функција функције $f$ на интервалу $I$ тада је и функција $F(x) + c$ такође примитивна функција функције $F$ на интервалу $I$.
   Доказ: $(\forall x \in I) (F(x) + c)' = F'(x) = f(x)$
2. Ако су $F_1(x)$ и $F_2(x)$ примитивне функције фунцкије $f$ на интервалу $I$, тада постоји константа $C \in \mathbb{R}$ тако да $(\forall x \in I) F_1(x) = F_2(x) + C$
   Доказ: $F_1(x)$, $F_2(x)$ су примитивне функције функције $f$ на интервалу $I$. Посматрајмо $F_1(x) - F_2(x)$ на интервалу $I$:

   $(\forall x \in I) (F_1(x) - F_2(x))' = f(x) - f(x) = 0 \implies (\exists c \in \mathbb{R}) (\forall x \in I) F_1(x) - F_2(x) = c$

Дефиниција 2: Скуп свих примитивних функција функције $f$ на интервалу $I$ зове се неодређени интеграл функције $f$ на интервалу $I$: $\{F(x) + c | c \in \mathbb{R}\}$ (где је $F(x)$ једна примитивна функције функције $f$ на интервалу $I$)

Теорема 2: Ако функције $f(x)$ и $g(x)$ имају примитивну функцију на интервалу $I$ тада на том интервалу важи следеће:

1. $d\left(\int f(x) dx\right) = f(x) \cdot dx$
2. $\left(\int f(x) dx\right)' = f(x)$
3. $\int dF(x) = F(x) + c$, $c \in \mathbb{R}$
4. Линеарност интеграла: $\int (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \int \alpha f(x) dx + \int \beta g(x) dx$

Доказ:

1. $d\left(\int f(x) dx\right) = d(f(x) + c) = d(f(x)) = F'(x) \cdot dx = f(x) \cdot dx$
2. $\frac{d\left(\int f(x) dx\right)}{dx} = \left(\int f(x) dx\right)' = f(x)$
3. $\int dF(x) = \int F'(x) dx = \int f(x) dx = F(x) + c$, $c \in \mathbb{R}$

Основни методи интеграције

Таблица неодређених интеграла

1. $\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$, $\alpha \neq -1$
2. $\int \frac{1}{x} dx = ln|x| + C$, $x \neq 0$
3. $\int \alpha^x dx = \frac{\alpha^x}{ln a} + C$, $a > 0, a \neq 1$
4. $\int e^x dx = e^x + C$
5. $\int \frac{dx}{1 + x^2} = arctg x + C = -arcctg x + C_1$
6. $\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = arcsin x + C = -arccos x + C_1$ ($|x| < 1$)
7. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm 1}} = ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm 1}\right| + C = \left\{ \begin{array}{ll} arsh x + C & za + \\ arch x + C & za - i x > 1 \end{array} \right.$
8. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
9. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
10. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
11. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
12. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
13. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
14. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
15. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
16. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }

Метод смене променљиве

Теорема 3: Нека је функција $f$ непрекидна функција на интервалу $I$ и нека је $\int f(x) dx = F(x) + C$, $C \in \mathbb{R}$. Нека је функција $\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I$ и нека су $\varphi$ и $\varphi'(x)$ непрекидне и $\left(\forall x \in (\alpha, \beta)\right) \varphi'(x) \neq 0$. Тада важи:

$\int f(x) dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt = F(\varphi(t)) + c$ ($x = \varphi(t)$, $t \in (\alpha, \beta)$, $\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I$)

Метод парцијалне интеграције

Теорема 4: Ако су $u(x)$ и $v(x)$ диференцијабилне на $I$ и ако на $I$ постоје примитивне функције функција $u'(x)v(x)$ и $u(x)v'(x)$ тада на $I$ важи:

$\int u(x)dv(x) = u(x) \cdot v(x) - \int v(x) dv(x) + C$

Свођење квадратног тринома на канонски облик

$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a\left(x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) = \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(\frac{x}{a} - \frac{b^2}{4a^2}\right)\right)$

Интеграција рационалних функција

Рационална функција је функција облика $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ где су $P_n(x)$ и $Q_m(x)$ полиноми реда $n$ и $m$. Права рационална функција је рационална функција где је $n < m$. Како би се применио метод интеграције рационалних функција, рационална функција се мора свести на праву. Након тога, полином $Q_m(x)$ се мора раставити на реалне факторе и са сваки се мора одредити збир елементарних рационалних функција (парцијалних разломака). Подинтегрална функција једнака је збиру свих парцијалних разломака, одакле се добију неодређени коефицијенти.

Реални фактор	Збир парцијалних разломака
$(x - a)^k$, $a \in \mathbb{R}$, $k \in \mathbb{N}$	$\frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + ... + \frac{A_k}{(x - a)^k}$
$(x^2 + px + q)^k$, $p - 4q < 0$, $k \in \mathbb{N}$	$\frac{A_1x + B_1}{x^2 + px + q} + \frac{A_2x + B_2}{(x^2 + px + q)^2} + ... + \frac{A_kx + B_k}{(x^2 + px + q)^k}$

Интеграција неких ирационалних функција

1. $\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}dx = Q_{n-1}(x) \sqrt{ax^2 + bx + c} + \lambda \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}$
2. • $\sqrt{a^2 - x^2}$ - смена: $x = asin(t)$
   • $\sqrt{x^2 - a^2}$ - смена: $x = \frac{a}{cos(t)}$
   • $\sqrt{x^2 + a^2}$ - смена: $x = atg(t)$
3. $\int R\left(x, \left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)^{\frac{p_1}{q_1}}, ..., \left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)^{\frac{p_k}{q_k}}\right)dx$, смена: $\frac{ax + b}{cx + d} = t^{NZS(q_1, q_2, ..., q_k)}$

Интеграција тригонометријских функција

1. Ако подинтегрална функција зависи од $sin(x)$ и/или $cos(x)$ и заменом $sin(x)$ за $-sin(x)$ и $cos(x)$ за $-cos(x)$ се добије иста функција, смена која се примењује је $t = tg(x)$.
2. Ако подинтегрална функција зависи од $sin(x)$ и/или $cos(x)$ и заменом $cos(x)$ за $-cos(x)$ се добије негација исте функција, смена која се примењује је $t = sin(x)$.
3. Ако подинтегрална функција зависи од $sin(x)$ и/или $cos(x)$ и заменом $sin(x)$ за $-sin(x)$ се добије негација исте функција, смена која се примењује је $t = cos(x)$.
4. У супротном може се применити смена $t = tg\frac{x}{2}$ која може довести до компликованих рационалних функција.

Риманов одређени интеграл

Пропратни материјал: Датотека:M2 Određeni integral P3.pdf

Дефиниција 1: Подела сегмента $[a, b]$ је коначан скуп тачака $\{x_0, x_1, ..., x_n\}$ где $a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_{n-1} < x_n = b$ (ознака $P$). На сваком $[x_{i-1}, x_i]$, $i = 1...n$ бирамо прозвољну тачку $t_i$ и називамо их истакнутим тачкама.

Сума $\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i - 1})$ зове се интегрална (Риманова) сума функције $f$ на сегменту $[a, b]$, за изабрану поделу $P$ са изабраним истакнутим тачкама $t_1, t_2, ..., t_n$ (ознака $S(f, a, b, P, t)$).

Дефиниција 2: Норма поделе $P$ (ознака $||P||$) је $max(x_i - x_{i - 1})$, где $1 \leq i \leq n$.

$||P|| \to 0 \implies n \to +\infty$, али не важи и $n \to +\infty \implies ||P|| \to 0$.

Дефиниција 3: Ако постоји реалан број $I$ тако да $\lim_{||P|| \to 0} \left(\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i-1})\right) = I$ за сваку поделу $P$ на сегменту $[a, b]$ тада се тај број зове Риманов (одређени) интеграл функције $f$ на сегменту $[a, b]$ (ознака $\int_a^b f(x) dx$).

Дефиниција 4: Функција $f$ је интеграбилна на сегменту $[a, b]$ ако постоји $I \in \mathbb{R}$ тако да $\lim_{||P|| \to 0} \left(\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i-1})\right) = I$. Последице:

1. $\int_a^a f(x) dx = 0$
2. $a < b$, $\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx$

Потребни и довољни услови за интеграбилност

Теорема 1:

1. Ако је функција $f$ интеграбилна на одсечку $[a, b]$ тада је $f$ ограничена на $[a, b]$.
2. Ако је $f$ непрекидна на $[a, b]$ тада је $f$ интеграбилна на $[a, b]$.
3. Ако је $f$ дефинисана и ограничена на $[a, b]$ и ако на одсечку $[a, b]$ има коначно много тачака прекида, тада је $f$ интеграбилна на $[a, b]$.
4. Ако је $f$ монотона на одсечку $[a, b]$ тада је $f$ интеграбилна на $[a, b]$.

Својства Римановог одређеног интеграла

Теорема 1: Нека су функције $f$ и $g$ интеграбилне на $[a, b]$. Тада важи:

1. Линеарност интеграла: $\int_a^b \left(\alpha f(x) + \beta g(x)\right) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$
2. Адитивност интеграла: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$, $c \in [a, b]$
3. Модуларна неједнакост: Функција $|f(x)|$ је интеграбилна на $[a, b]$ и важи $\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx$
4. Функција $f(x) \cdot g(x)$ је интеграбилна на $[a, b]$.
5. Функција $f(x)$ је интеграбилна на $[\alpha, \beta] \subseteq [a, b]$.
6. Ако је $(\forall x \in [a, b]) f(x) = f_1(x)$ осим у коначно много тачака, тада је функција интеграбилна на $[a, b]$ и важи $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f_1(x) dx$.
7. • $(\forall x \in [a, b]) f(x) \geq 0 \implies \int_a^b f(x) dx \geq 0$
   • $(\forall x \in [a, b]) f(x) > 0 \implies \int_a^b f(x) dx > 0$
8. Монотоност интеграла:
   • $(\forall x \in [a, b]) f(x) \leq g(x) \implies \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx$
   • $(\forall x \in [a, b]) f(x) < g(x) \implies \int_a^b f(x) dx < \int_a^b g(x) dx$

Веза између Римановог одређеног интеграла и неодређеног интеграла

Теорема 1: Ако је $f$ непрекидна функција на интервалу $I$ и ако је $F$ било која примитивна функција функције $f$ на интервалу $I$, тада за сваки сегмент $[a, b] \subset I$ важи:

$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

Методи интеграције одређеног интеграла

Теорема 1: (Парцијална интеграција) Ако су функције $u(x)$, $v(x)$, $u'(x)$ и $v'(x)$ непрекидне на $[a, b]$ тада је

$\int_a^b u(x) dv(x) = (u(x) v(x)) |_a^b - \int_a^b v(x) du(x)$

Теорема 2: (Смена променљиве код одређеног интеграла)

1. Смена $x = \varphi(t)$: $\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) dt$ ако важи следеће:
   • функција $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ је непрекидна,
   • $a = \varphi(\alpha)$, $b = \varphi(\beta)$,
   • функције $\varphi: [\alpha, \beta] \to [a, b]$ и $\varphi'$ су непрекидне на $[\alpha, \beta]$
   • функција $f(\varphi(t))$ је дефинисана за све вредности $t \in [\alpha, \beta]$.
2. Смена : ако важи следеће:
   • функција $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ је непрекидна,
   • $g(a) = \alpha$, $g(b) = \beta$,
   • функција $g$ је строго монотона на $[a, b]$
   • инверзна функција $g^{-1}$ има непрекидан извод на $[\alpha, \beta]$.

Теорема 3: Ако је $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ непрекидна и периодична функција са периодом $T$, тада важи:

$\int_0^T f(x) dx = \int_a^{a+T} f(x) dx$, ($a \in \mathbb{R}$)

Теорема 4: Ако је $f$ непрекидна функција на $[-a, a]$, тада важи:

$\int_{-a}^a f(x) dx = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & ako je f neparna funkcija \\ 2 \int_0^a f(x) dx, & ako je f parna funkcija \end{array} \right.$

Теорема 5: Ако је $f$ непрекидна на $[a, b]$ и $(\forall x \in [a, b]) f(x) \geq 0$ тада је површина фигуре која је ограничена кривом $y = f(x)$, правима $x = a$, $x = b$, и $x$-осом једнака $\int_a^b f(x) dx$.

Несвојствени интеграли

Пропратни материјал: Датотека:M2 Nesvojstveni integrali P3.pdf

Несвојствени интеграли су интеграли чији интервал интеграције није коначан или подинтегрална функција није ограничена на интервалу.

Дефиниција 1: (Бесконачан интервал)

1. Нека је $f$ дефинисана на $[0, +\infty)$ и нека је интеграбилна на сваком коначном сегменту $[a, \beta] \subset [a, +\infty)$.

   $\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{\beta \to +\infty} (\int_a^{\beta} f(x) dx)$

2. Нека је $f$ дефинисана на $(-\infty, b)$ и нека је интеграбилна на сваком коначном сегменту $[\alpha, b] \subset (-\infty, b]$.

   $\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{\alpha \to -\infty} (\int_{\alpha}^b f(x) dx)$

3. Нека је $f$ дефинисана на $\mathbb{R}$ и нека је интеграбилна на сваком коначном сегменту $[\alpha, \beta] \subset \mathbb{R}$.

   $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^{+\infty} f(x) dx = \lim_{\alpha \to -\infty} (\int_{\alpha}^c f(x) dx) + \lim_{\beta \to +\infty} (\int_c^{\beta} f(x) dx)$

   ($c \in \mathbb{R}$)

Дефиниција 2: (Неограничена подинтегрална функција)

1. Нека је $f$ дефинисана на $[a, b)$ и нека није 0 у левој околини тачке $b$.

   $\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to b^{-}} \int_a^c f(x) dx$

2. Нека је $f$ дефинисана на $(a, b]$ и нека није 0 у десној околини тачке $a$.

   $\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to a^{+}} \int_c^b f(x) dx$

3. Нека је $f$ дефинисана на $(a, b)$ и нека није 0 у левој околини тачке $b$ и десној околини тачке $a$.

   $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \lim_{d \to a^{+}} (\int_d^c f(x) dx) + \lim_{e \to b^{-}} (\int_c^e f(x) dx)$

   ($c \in \mathbb{R}$)