Програмирање 2/К1 2019

Први колоквијум 2019. године одржан је 18. марта. Задаци и решења су доступни са странице предмета.

Питања

Питање 1

На неком рачунару, реални бројеви се представљају на ширини од 11 бита у формату сеееееммммм, где је с предзнак броја, еееее су 5 битова за експонент у коду са вишком 15 и ммммм су 5 битова нормализоване мантисе са скривеним битом (1≤М<2). Сва заокруживања се обављају према правилима АНСИ/ИЕЕЕ стандарда за реалне бројеве. Нека се у локацију А учита број чија је вредност 11.5₁₀, а у локацију Б број чија је вредност највећа могућа тако да приликом сабирања бројева А и Б не дође до грешке веће од 1 приликом заокруживања. Колика је вредност збира А и Б на датом рачунару?

Поставка

Ово је мало тежи задатак. Тражи се највећи број Б тако да кад се сабере са А грешка у заокруживању не буде већа од 1.

Овај задатак ћемо решити тако што представимо А, и повећавамо експонент од нормализованог док не дођемо до експонената довољно великих да се мора десити заокруживање. Онда рачунаме појединачно грешку за свако заокруживање и бирамо ону која је мања од 1, а има највећи експонент. Онда осмислимо број Б тако што мантису поставимо на све јединице (највећи број) и дамо тај експонент који смо нашли.

• w = 11, к = 5, в = 15, п = 5
• ИЕЕЕ мантиса

Број А

А = 11.5₁₀ = 1011.1₂ = 1.01110 * 2³

Тражимо највећи експонент

Тражимо највећи експонент на који можемо да поставимо А, а да грешка у заокруживању не буде већа од 1.

А = 1.01110 * 2³

А = 0.10111 0 * 2⁴ - Нема грешке

А = 0.01011 10 * 2⁵ - Заокружујемо тако што додамо 1 на крајњу цифру мантисе (Правило 3б)

А_з5 = 0.011000 * 2⁵. Грешка = А_з5 - А = (0.0110000 - 0.0101110)*2⁵ = 0.0000010 * 2⁵ = 0.1

Грешка је мања од 1, значи можемо још.

А = 0.00101 110 * 2⁶.

Заокружује се правилом 2.

А_з6 = 0.00110 * 2⁶

Грешка = А_з6 - А = 0.00000010 * 2⁶ = 0.1

Идемо даље.

А = 0.00010 1110 * 2⁷

А_з = 0.00011 * 2⁷ (Правило 2)

Грешка = А_з7 - А = (0.00011 0000 - 0.00010 1110) * 2⁷ = 0.1

Идемо даље...

А = 0.00001 01110 * 2⁸

А_з8 = 0.00001 (Правило 1).

Грешка = А_з8 - А = (0.00001 00000 - 0.00001 01110) * 2⁸ = 100.1 = 8.5₁₀

Са 8 смо га претерали, тако да је 7 највећи експонент који можемо да узмемо.

Правимо број Б

Највећа мантиса је 11111, тако да број Б = 1.11111 * 2⁷ = 1111 1100 = 252₁₀.

Одатле А + Б = 11.5 + 252 = 263.5 што је најближе 264 (А). (Имајте у виду да је А сабрано са повећаним експонентом са грешком 0.1² тј 0.5 тако да је прави збир 12 + 252 = 264 тачно на рачунару)

Питање 2

На једном рачунару, реални бројеви се представљају на ширини од 11 бита у формату сеееемммммм, где је с бит предвиђен за кодирање предзнака броја, ееее су 4 бита за експонент у коду са вишком 8, а мммммм су бити нормализоване матисе са скривеним битом (0.5≤М<1). Цели бројеви на овом рачунару се представљају у другом комплементу на ширини од 7 бита. Вредност реалног броја на локацији X је 32.5₁₀. Представа целог броја на локацији Y је 122₈. Који је садржај реалне променљиве З након што се на овом рачунару обави операција З = X + Y? Сва заокруживања се обављају према правилима АНСИ/ИЕЕЕ стандарда за реалне бројеве.

Поставка

• w = 11, к = 4, в = 8, п = 6
• ВАX мантиса

Број Y

Y = 122₈ = 001 010 010 = 0101 0010.

Комплементирамо, Y = -10 1110 (-46).

Нормализујемо мантису да буде у формату 0.1мммммм.

Y = -011110 = -0.1011100 * 2⁶. Нема заокруживања.

Број X

X = 32.5 = 10 0000.1

Нормализујемо:

X = 10 0000.1 = 0.1000001 * 2⁶

Сабирање

З = X + Y = 0.1000001 * 2⁶ - 0.1011100 * 2⁶ = -(0.1011100 * 2⁶ - 0.1000001 * 2⁶) = -0.0011011 * 2⁶.

Нормализујемо.

З = -0.1101100 * 2⁴

Мантиса = 101100

Експонент Е = 4. е = Е + в = 4 + 8 = 12 = 1100₂.

Знак је негативан.

Састављамо 1 1100 101100 = 0111 0010 1100 = 72Ц₁₆ (А).