PRS/Formule

Poasonov proces

Osnovni termini

• $\bar{s}$ - Srednje vreme obrade posla
  • Ponekad označeno i kao $s, S_p$
• $\bar{a}$ - Srednje vreme/Očekivano vreme između dva pristizanja poslova
• $\mu$ - Brzina/intenzitet obrade posla
• $\lambda$ - Brzina/intenzitet pristizanja poslova
• $\lambda = \frac{1}{\bar{a}}$
• $\mu = \frac{1}{\bar{s}}$

Stanja sistema

• Stanja sistema obeležavamo brojevima koji ujedno označavaju koliko ima poslova u sistemu.
• Broj stanja = Broj procesora koji mogu da rade posao + Broj mesta u redu za čekanje
• Ukoliko je red za čekanje neograničen/beskonačan, postoji beskonačan broj stanja.
• Svako stanje ima statičku verovatnoću, oznaka $p_i$, gde je $i$ broj stanja.
• $\sum_{i = 0}^n p_i = 1$ - Jednačina preklapanja. Zbir svih stanja u sistemu mora biti 1.
• Statičke verovatnoće određuju se iz balansnih jednačina.
• U sistemima sa beskonačnim brojem stanja (neograničenim redom za čekanje) javljaju se redovi:
  • $1 + \rho + \rho^2 + ... = \sum_{i = 0}^{\infty} \rho^i = \frac{1}{1 - \rho}$ - Geometrijski red. Konvergira samo ako $\rho < 1$ i to je neophodno proveriti - inače red divergira i analiza nije primenljiva.
  • $1 + 2\rho + 3\rho^2 + ... = \sum_{i = 0}^{\infty} (i + 1)\rho^i = \frac{1}{\left(1 - \rho\right)^2}$ Potencijalni red. Konvergira samo ako $\rho < 1$ i to je neophodno proveriti - inače red divergira i analiza nije primenljiva.
• Za nepoznat ali konačan broj stanja javlja se i geometrijski niz (koji ima konačan broj članova): $\rho + \rho^2 + ... \rho^n = \sum_{i = 1}^{n} \rho^i = \frac{1 - \rho^n}{1 - \rho}$
  • Paziti na slučaj gde $\rho = 1$. Tada je vrednost niza $n\rho$.

Karakteristike sistema

• $T$ - Prosečno/očekivano vreme obrade poslova/vreme odziva u sistemu
• $T_q$ - Prosečno/očekivano vreme obrade poslova/vreme odziva u redu za čekanje
  • Veza: $T = T_q + \bar{s}$

• $J$ - Prosečan/očekivani broj poslova u sistemu
  • $J = \sum_{i = 0}^n ip_i$ - gde se $i$ slaže sa brojem poslova u sistemu.
• $J_q$ - Prosečan/očekivani broj poslova u redu za čekanje
  • Važi ista formula kao za J, samo što se verovatnoće množe sa brojem poslova u redu za čekanje.

• $X$ - Protok kroz sistem
  • Ujedno i protok kroz red za čekanje
  • Ukoliko je red za čekanje beskonačan nema odbijanja poslova, što znači da je protok isti kao i intenzitet pristizanja poslova. $X = \lambda$
  • Inače, protok je $X = (1 - p_{MAX})\lambda$, gde je $p_{MAX}$ poslednje stanje u kom nema mesta u redu za čekanje.
• $X' = p_{MAX}\lambda$ - Protok odbijenih poslova

• $T = \frac{J}{X}$ - Litlova formula. Važi za ceo sistem.
  • Moguće je posmatrati samo red za čekanje i tu važi: $T = \frac{J_q}{X}$
  • Veza: $T = T_q + \bar{s} \iff \frac{J}{X} = \frac{J_q}{X} + \bar{s} \iff J - J_q = \bar{s}X$

• $U = \sum_{i = 0}^n U_i p_i$ - Iskorišćenost sistema. Iskorišćenost nekog dela $U_i$ se definiše kao broj poslova podeljen sa kapacitetom.
  • Važi $U = 1 -$ neiskorišćeni deo sistema.