ПРС/Формуле

Поасонов процес

Основни термини

• $\bar{s}$ - Средње време обраде посла
  • Понекад означено и као $s, S_p$
• $\bar{a}$ - Средње време/Очекивано време између два пристизања послова
• $\mu$ - Брзина/интензитет обраде посла
• $\lambda$ - Брзина/интензитет пристизања послова
• $\lambda = \frac{1}{\bar{a}}$
• $\mu = \frac{1}{\bar{s}}$

Стања система

• Стања система обележавамо бројевима који уједно означавају колико има послова у систему.
• Број стања = Број процесора који могу да раде посао + Број места у реду за чекање
• Уколико је ред за чекање неограничен/бесконачан, постоји бесконачан број стања.
• Свако стање има статичку вероватноћу, ознака $p_i$, где је $i$ број стања.
• $\sum_{i = 0}^n p_i = 1$ - Једначина преклапања. Збир свих стања у систему мора бити 1.
• Статичке вероватноће одређују се из балансних једначина.
• У системима са бесконачним бројем стања (неограниченим редом за чекање) јављају се редови:
  • $1 + \rho + \rho^2 + ... = \sum_{i = 0}^{\infty} \rho^i = \frac{1}{1 - \rho}$ - Геометријски ред. Конвергира само ако $\rho < 1$ и то је неопходно проверити - иначе ред дивергира и анализа није применљива.
  • $1 + 2\rho + 3\rho^2 + ... = \sum_{i = 0}^{\infty} (i + 1)\rho^i = \frac{1}{\left(1 - \rho\right)^2}$ Потенцијални ред. Конвергира само ако $\rho < 1$ и то је неопходно проверити - иначе ред дивергира и анализа није применљива.
• За непознат али коначан број стања јавља се и геометријски низ (који има коначан број чланова): $\rho + \rho^2 + ... \rho^n = \sum_{i = 1}^{n} \rho^i = \frac{1 - \rho^n}{1 - \rho}$
  • Пазити на случај где $\rho = 1$. Тада је вредност низа $n\rho$.

Карактеристике система

• $T$ - Просечно/очекивано време обраде послова/време одзива у систему
• $T_q$ - Просечно/очекивано време обраде послова/време одзива у реду за чекање
  • Веза: $T = T_q + \bar{s}$

• $J$ - Просечан/очекивани број послова у систему
  • $J = \sum_{i = 0}^n ip_i$ - где се $i$ слаже са бројем послова у систему.
• $J_q$ - Просечан/очекивани број послова у реду за чекање
  • Важи иста формула као за J, само што се вероватноће множе са бројем послова у реду за чекање.

• $X$ - Проток кроз систем
  • Уједно и проток кроз ред за чекање
  • Уколико је ред за чекање бесконачан нема одбијања послова, што значи да је проток исти као и интензитет пристизања послова. $X = \lambda$
  • Иначе, проток је $X = (1 - p_{MAX})\lambda$, где је $p_{MAX}$ последње стање у ком нема места у реду за чекање.
• $X' = p_{MAX}\lambda$ - Проток одбијених послова

• $T = \frac{J}{X}$ - Литлова формула. Важи за цео систем.
  • Могуће је посматрати само ред за чекање и ту важи: $T = \frac{J_q}{X}$
  • Веза: $T = T_q + \bar{s} \iff \frac{J}{X} = \frac{J_q}{X} + \bar{s} \iff J - J_q = \bar{s}X$

• $U = \sum_{i = 0}^n U_i p_i$ - Искоришћеност система. Искоришћеност неког дела $U_i$ се дефинише као број послова подељен са капацитетом.
  • Важи $U = 1 -$ неискоришћени део система.