Verovatnoća i statistika/K 2021

Kolokvijum 2021. godine održan je 9. maja i trajao je 90 minuta.

1. zadatak

Ovaj zadatak nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Postavka

Iskra i Marko se nalaze između 15 i 18 časova, ko prvi dođe čeka 45 minuta pre nego što ode. Kolika je šansa da će se Marko i Iskra sresti?

Skica rešenja

Napraviti koordinatni sistem koji ide do 3 po obe ose. Povući prave $y = x + \frac{1}{4}$, $y = x - \frac{1}{4}$, $y = 1$ i $x = 1$. Odrediti površinu šestougla koji oni određuju i to je verovatnoća njihovog susreta.

2. zadatak

Postavka

1. Šta je uslovna verovatnoća?
2. Definisati nezavisnost događaja.

Rešenje

Definicije uslovne verovatnoće i nezavisnosti događaja mogu se pronaći na stranici sa sažetom teorijom.

3. zadatak

Postavka

Dati definiciju totalne verovatnoće.

Rešenje

Ova definicija se takođe može pronaći na stranici sa sažetom teorijom.

4. zadatak

Ovaj zadatak nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Postavka

Firma A proivodi 23%, B 52%, a firma C 27% proizvoda. Škarta ima u A 1%, B 3% a u C 5%. Kolika je šansa da smo izabrali neki neispravan proizvod sa gomile na kojoj se nalaze proizvodi samo ovih kompanija?

Skica rešenja

Korišćenjem formule totalne verovatnoće i Bajesove formule se dolazi do rešenja.

5. zadatak

Postavka

U proseku u poštu uđu dve osobe u 3 minuta. Kolika je verovatnoća da u 5 minuta ne uđe nijedna osoba, a kolika da je ušlo bar 3 osobe?

Rešenje

• Retki događaji kao što je i ovaj imaju Puasonovu raspodelu. Slučajna promenljiva za broj osoba u pet minuta bi imala raspodelu $X \sim Poiss\left(\frac{2 \cdot 5}{3}\right)$.
• $P(X = 0) = e^{-\frac{10}{3} } \frac{\frac{10}{3}^0}{0!} \approx 0.0357$
• $P(X \geq 3) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2) \approx 0.647$

6. zadatak

Postavka

Napisati definiciju matematičkog očekivanja i navesti njegove osobine.

Rešenje

Matematičko očekivanje i njegove osobine se takođe mogu pronaći na stranici sa sažetom teorijom.

7. zadatak

Postavka

Ako je $X$ neprekidna slučajna promenljiva sa gustinom $f_X$ i raspodelom $F_X$ odrediti gustinu i raspodelu za $Y = |X|$.

Rešenje

• $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(|X| \leq y) = P(-y \leq X \leq y) = F_X(y) - F_X(-y)$
• $f_Y(y) = F_Y'(y) = (F_X(y))' - (F_X(-y))' = f_X(y) + f_X(-y)$