Verovatnoća i statistika/Jun 2021

Ispit u junskom roku 2021. godine održan je 17. juna i trajao je 90 minuta. Postavka roka nije dostupna sa stranice predmeta.

1. zadatak

Postavka

Neka su $X$ i $Y$ nezavisne slučajne promenljive sa $Unif(0, 1)$ raspodelom i neka važi za slučajne promenljive $U$ i $V$ važi $U = 2X + 4Y$, $V = X - Y$. Odrediti koeficijent korelacije za $\rho (U, V)$.

Rešenje

• $X, Y \sim Unif(0, 1)$
  • $EX = EY = \frac{1}{2}$
  • $VarX = VarY = \frac{1}{12}$
  • $E(X^2) = E(Y^2) = VarX + (EX)^2 = \frac{1}{3}$
• $U = 2X + 4Y$
  • $EU = 2EX + 4EY = 3$
  • $VarU = Var(2X + 4Y) = 4VarX + 16VarY = \frac{10}{6}$
• $V = X - Y$
  • $EV = EX - EY = 0$
  • $VarV = VarX + (-1)^2 VarY = \frac{1}{6}$
• $Cov(U, V) = E\left((U - EU)(V - EV)\right) =$$E\left((2X + 4Y - 3)(X - Y)\right) =$$E\left(2X^2 - 2XY + 4XY - 4Y^2 - 3EX + 3EY\right) =$$E\left(2X^2 - 4Y^2 + 2XY\right) =$$2E(X^2) - 4E(Y^2) + 2E(XY) =$$-2\frac{1}{3} + \frac{1}{2} =$$-\frac{1}{6}$
• $\rho(U, V) = \frac{Cov(U, V)}{\sqrt{VarU} \sqrt{VarV} } = \frac{-\frac{1}{6}}{\sqrt{\frac{10}{36} } } = -\frac{1}{\sqrt{10} }$

2. zadatak

Postavka

Neka slučajna promenljiva $X$ ima raspodelu $Bin(100, p)$ sa verovatnoćom uspeha $p$, $0 < p < 1$. Na osnovu uzorka 34, 28, 47, 38, 53 broja realizovanih uspeha naći ocenu nepoznatog parametra $p$ koristeći metod maksimalne verodostojnosti.

Rešenje

$\frac{2}{5}$

3. zadatak

Postavka

1. Dati definiciju karakteristične funkcije slučajne promenljive $X$.
2. Dati iskaz teoreme koja opisuje osobinu karakteristične funkcije zbira dve slučajne promenljive.
3. Neka su $X$ i $Y$ nezavisne slučajne promenljive, gde $X$ ima $Unif(0, 1)$ raspodelu, a $Y$ je data zakonom raspodele $Y : \left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0.5 & 0.5 \\ \end{array}\right)$. Dokazati da slučajna promenljiva $Z = X + Y$ ima $Unif(1, 3)$ raspodelu.

Rešenje

Definicija karakteristične funkcije, kao i teorema 5.1 koja opisuje osobinu karakteristične funkcije zbira dve slučajne promenljive mogu se naći na stranici sa sažetom teorijom sa predavanja.

• Za $X \sim Unif(0, 1)$ karakterističnu funkciju možemo izračunati kao $\varphi_X(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{itx} f_X(x) dx =$$\int_0^1 e^{itx} dx =$$\frac{1}{it} e^{itx} |_0^1 =$$\frac{1}{it} \left(e^{it} - 1\right)$.
• Za $Y$ karakterističnu funkciju možemo izračunati kao $\varphi_Y(t) = \frac{1}{2} e^{it} + \frac{1}{2} e^{2it}$.
• Karakteristična funkcija $Z$ se može izračunati kao $\varphi_Z(t) = \varphi_X(t) \varphi_Y(t) =$$\frac{1}{2it} \left(e^{it} - 1\right) \left(e^{it} + e^{2it}\right) =$$\frac{1}{2it} \left(e^{2it} - e^{it} + e^{3it} - e^{2it}\right) =$$\frac{1}{2it} \left(e^{3it} - e^{it}\right)$.
• Sa druge strane, ukoliko bismo zamislili jednu drugu slučajnu promenljivu $W \sim Unif(1, 3)$ i izračunali njenu karakterističnu funkciju dobili bismo $\varphi_W(t) = \frac{1}{2} \int_1^3 e^{itx} dx =$$\frac{1}{2it} e^{itx} |_1^3 =$$\frac{1}{2it} \left(e^{3it} - e^{it}\right)$.
• Kako su $\varphi_Z$ i $\varphi_W$ iste funkcije, dokaz je gotov.

4. zadatak

Postavka

Broj studenata na predavanjima je slučajna promenljiva sa $Poiss(36)$ raspodelom.

1. Koliko treba da ima mesta u učionici da bi sa verovatnoćom bar 99% svi prisutni studenti mogli da sede?
2. Koja aproksimacija je korišćena pod 1)? Objasniti kako se došlo do te aproksimacije.

Rešenje

Minimalan broj mesta je 50. Korišćena je aproksimacija Puasonove raspodele normalnom $N(36, 36)$ raspodelom.

5. zadatak

Postavka

Na osnovu uzorka obima 121 iz $N(\mu, \sigma^2)$ raspodele dobijeno je $\hat{\mu} = 1.2$ i $s^2 = 2.25$. Testirati hipotezu $H_0: \mu = 1$ protiv alternativne hipoteze $H_1: \mu > 1$ sa nivoom značajnosti 0.05. Objasniti postupak.

Rešenje

Hipoteza $H_0$ se ne odbacuje.