Verovatnoća i statistika/Jul 2021

Ispit u julskom roku 2021. godine održan je 9. jula i trajao je 90 minuta. Postavka roka nije dostupna sa stranice predmeta.

1. zadatak

Postavka

Naći $\rho(X, Y)$ i ispitati jesu li slučajne promenljive zavisne.

Raspodela slučajnog vektora $(X, Y)$

$X$ \ $Y$	0	1	2	3	4	5
1	0.05	0.05	0.1	0	0.1	0.1
2	0.1	0.1	0.2	0.05	0.1	0.05

Rešenje

• Marginalni zakon raspodele za $X$ je $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0.15 & 0.15 & 0.3 & 0.05 & 0.2 & 0.15 \end{pmatrix}$
  • $EX = 0 \cdot 0.15 + 1 \cdot 0.15 + 2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.05 + 4 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.15 = 2.45$
  • $E(X^2) = 0 \cdot 0.15 + 1 \cdot 0.15 + 4 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.05 + 16 \cdot 0.2 + 25 \cdot 0.15 = 8.75$
  • $VarX = E(X^2) - (EX)^2 = 2.7475$
• Marginalni zakon raspodele za $Y$ je $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix}$
  • $EY = 0.4 + 1.2 = 1.6$
  • $E(Y^2) = 0.4 + 2.4 = 2.8$
  • $VarY = E(Y^2) - (EY)^2 = 0.24$
• Zakon raspodele za $XY$ glasi: $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 & 8 & 10 \\ 0.15 & 0.05 & 0.2 & 0.3 & 0.1 & 0.05 & 0.1 & 0.05 \end{pmatrix}$
  • $E(XY) = 0.05 + 0.4 + 1.2 + 0.5 + 0.3 + 0.8 + 0.5 = 3.75$
• $Cov(X, Y) = E(XY) - EX \cdot EY = 3.75 - 2.45 \cdot 1.6 = -0.17$
  • Kako kovarijansa nije 0, promenljive jesu zavisne.
• $\rho(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{VarX} \sqrt{VarY} } = \frac{-0.17}{\sqrt{2.7475} \sqrt{0.24} } \approx -0.209$

2. zadatak

Postavka

Na žurku nam dolazi 120 ljudi, verovatnoće da će neko uzeti 0, 1 ili 2 sendviča su $\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$. Koliko je najmanje sendviča potrebno da se napravi da bi sa verovatnoćom od 0.95 bili sigurni da će ih biti za sve? Koju teoremu ste koristili da bi ste rešili zadatak?

Rešenje

• Zakon raspodele: $X: \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0.25 & 0.5 & 0.25 \end{pmatrix}$
  • $EX = 1 = \mu$
  • $E(X^2) = 0.5 + 4 \cdot 0.25 = 1.5$
  • $VarX = E(X^2) - (EX)^2 = 0.5 = \sigma^2$
• $Y = X_1 + ... + X_n$
• Centralna granična teorema: $\frac{Y - n\mu}{\sigma \sqrt{n} } =$$\frac{Y - 120}{\sqrt{120 \cdot 0.5} } =$$\frac{Y - 120}{60} \sim \mathcal{N}(0, 1)$
• $0.95 = P(Y \leq n) =$$P\left(\frac{X - 120}{\sqrt{60} } \leq \frac{n - 120}{\sqrt{60} }\right) =$$\Phi\left(\frac{n - 120}{\sqrt{60} }\right)$
• $1.645 = \frac{n - 120}{\sqrt{60} }$
  • $n = 1.645 \cdot \sqrt{60} + 120 \approx 132.74$

3. zadatak

Ovaj zadatak nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Postavka

Neka promenljiva ima varijansu 1.44 kad je očekivanje nepoznato. Prilikom ocena parametra dobijen je interval poverenja dužine 0.9408. Koliki treba biti uzorak da bi se ovo desilo? $\alpha = 0.05$

Skica rešenja

Oduzimanjem gornje i donje granice intervala dolazimo do izraza iz kojeg izvlačimo $n$ koje je minimum 25.

4. zadatak

Ovaj zadatak nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Postavka

Neka su $X_1, X_2,...X_n$ promenljive sa raspodelom $Exp(\frac{1}{\lambda})$. Ako je $U$ ocena parametra dobijena metodom maksimalne verodostojnosti, $V$ ocena $\lambda = min\{X_1, X_2,...X_n\}$. Koja od ocena je bolja?

5. zadatak

Ovaj zadatak nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Postavka

Meren je promet automobila na nekom mestu u periodu od 100 minuta (auto/minut). Rezultatu su dati u tabeli. Da li ovi rezultati prate Puasonovu raspodelu?

Br. automobila	0	1	2	3	4	5
Br. prolaska	8	28	31	18	9	6

Skica rešenja

Prvo moramo oceniti parametar Puasonove raspodele jer nije dat. Posle pravimo tabelu za testiranje neparametarskih hipoteza $\chi^2$ jer je Puasonova rapodela diskretna. Nakon toga koristimo kvantili iz $\chi^2$ raspodele sa stepenom slobode 4 (6-1-1).