Drugi kolokvijum 2022. godine održan je 5. maja. Postavka roka nije javno dostupna.
1. zadatak
Postavka
Neka je data funkcija gustine slučajne promenljive sa . Naći funkciju raspodele slučajne promenljive .
Rešenje
Prvo je potrebno odrediti funkciju raspodele : . Za dobijamo , tako da je funkcija raspodele: .
Iz toga dobijamo funkciju raspodele kao , odnosno:
2. zadatak
Postavka
- Navesti tri osobine matematičkog očekivanja po izboru.
- Neka je funkcija raspodele slučajne promenljlive data sa . Naći .
Rešenje
Osobine matematičkog očekivanja mogu se naći u okviru teoreme 4.2 na stranici sa sažetom teorijom.
Da bismo pronašli potrebna nam je vrednost . Za neprekidno važi , za šta nam je potrebna gustina raspodele . Dalje dobijamo:
3. zadatak
Postavka
Neka je slučajna promenljiva sa Puasonovom raspodelom sa parametrom , a slučajna promenljiva sa normalnom raspodelom sa očekivanjem i varijansom . Ako su i , odrediti .
Rešenje
Ako računamo da su i nezavisne, dobijamo sledeće:
- , ,
- , ,
- , ,
- , ,
4. zadatak
Postavka
su nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom, očekivanjem i varijansom .
- Naći i .
- Korišćenjem nejednakosti Čebiševa naći najmanje , tako da .
Rešenje
-
5. zadatak
Postavka
Kockica se baca 540 puta. Koja je verovatnoća da će šestica pasti između 100 i 120 puta? Navesti definiciju teoreme koja je korišćena.
Rešenje
Broj šestica je u ovom slučaju slučajna promenljiva . Kako je , možemo iskoristiti aproksimaciju binomne raspodele normalnom (koja se izvodi iz centralne granične teoreme) za . Dalje dobijamo: