Verovatnoća i statistika/Teorija

Teorija sa predavanja može, pored zadataka, doći na kolokvijumima. Ispod je izlistana sažeta teorija, bez dodatnih primera, radi vežbanja za kolokvijum.

Uvod

Osnovni pojmovi

• Statistički eksperiment:
  • može da se ponovi više puta pod istim uslovima
  • poznati su nam svi mogući ishodi (notacija: $\omega$)
  • ne znamo unapred šta će se desiti u konkretnom eksperimentu
  • Skup svih ishoda (notacija: $\Omega$) može biti konačan (bacanje novčića), beskonačan, a ukoliko je beskonačan može biti prebrojiv (bacanje kocke dok ne padne 6) i neprebrojiv (biranje realnog broja iz intervala)
• Događaj: podskup $\Omega$ (notacija: $A$, $B$, ...)
  • Događaj se realizuje u eksperimentu ako se ostvari u jednom od ishoda koji su njegovi elementi.
  • Operacije nad događajima:
    • $A \cup B$: A ili B
    • $A \cdot B$: A i B (notacija za presek se ne koristi)
    • $A \setminus B$: A, ali ne B
    • $A'$, $\overline{A}$, $A^C$: suprotan događaj ($\Omega \setminus A$)

Verovatnoća

• Aksiome verovatnoće: Verovatnoća je funkcija $P$ definisana nad podskupovima nekog skupa $\Omega$ ako važi:
  1. $P(\Omega) = 1$
  2. $\forall A \subset \Omega, P(A) \in [0, 1]$
  3. $P(A_1 \cup A_2 \cup ...) = P(A_1) + P(A_2) + ...$, gde su $A_1, A_2, ... \subset \Omega$ koji su međusobno isključivi i kojih ima konačno ili prebrojivo beskonačno
• Statističko određivanje verovatnoće: izvodimo eksperiment $n$ puta i registrujemo događaj $A$, tako da nam je $m(n)$ broj realizacija događaja $A$:
  • relativna frekvencija događaja: $\frac{m(n)}{n}$
  • $P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{m(n)}{n}$
• Model jednakoverovatnosti ishoda: ako su svi ishodi iz skupa $\Omega$ jednakoverovatni a broj članova je $n$, onda se verovatnoća događaja $A \subset \Omega$ može odrediti kao količnik broja povoljnih i svih ishoda: $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$
• Geometrijska verovatnoća: za neprebrojiv skup $\Omega$ koji može da se predstavi geometrijski kao ograničeni objekat (interval prave, lik u ravni, telo u prostoru) i događaj $A \subset \Omega$ važi $P(A) = \frac{m(A)}{m(\Omega)}$ gde je $m$ mera tog objekta (dužina, površina, zapremina).
  • Uslov: jednakoverovatni događaji su predstavljeni skupovima iste mere i obrnuto

Osobine verovatnoće

• Teorema 1.1: $P(A') = 1 - P(A)$
  • Dokaz: kako su $A$ i $A'$ međusobno isključivi, važi $A \cup A' = \Omega$, pa iz $P(A \cup A') = P(\Omega)$ i trećeg aksioma verovatnoće dobijamo $P(A) + P(A') = 1$.
• Teorema 1.2: $P(\emptyset) = 0$
  • Dokaz: iz $\Omega' = \emptyset$ i teoreme 1.1 sledi da je $P(\emptyset) = 1 - P(\Omega) = 0$
• Teorema 1.3: $P(A \setminus B) = P(A) - P(AB)$
  • Dokaz:
    • Ako su A i B međusobno isključivi, važi da je $A \setminus B = A$, pa važi da je $P(A \setminus B) = P(A) = P(A) - P(\emptyset) = P(A) - P(AB)$
    • Ako nisu, važi da je $A = (A \setminus B) \cup AB$, pa iz trećeg aksioma dobijamo $P(A) = P(A \setminus B) + P(AB) \implies P(A \setminus B) = P(A) - P(AB)$
• Teorema 1.4: $A \subset B \implies P(A) \leq P(B)$
  • Dokaz: $P(B) = P(A) + P(B \setminus A)$, a pošto po drugoj aksiomi $P(B \setminus A)$ onda sledi $P(B) \geq P(A)$
• Teorema 1.5: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
  • Dokaz:
    • Ako su međusobno isključivi, $P(AB) = 0$ tako da dokaz sledi po trećoj aksiomi
    • Ako nisu, $P(A \cup B) = P(A \setminus B) + P(B) = P(A) - P(AB) + P(B)$ po trećoj aksiomi i teoremi 1.3
  • Takođe važi i $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$