Вероватноћа и статистика/Теорија

Теорија са предавања може, поред задатака, доћи на колоквијумима. Испод је излистана сажета теорија, без додатних примера, ради вежбања за колоквијум.

Увод

Основни појмови

• Статистички експеримент:
  • може да се понови више пута под истим условима
  • познати су нам сви могући исходи (нотација: $\omega$)
  • не знамо унапред шта ће се десити у конкретном експерименту
  • Скуп свих исхода (нотација: $\Omega$) може бити коначан (бацање новчића), бесконачан, а уколико је бесконачан може бити пребројив (бацање коцке док не падне 6) и непребројив (бирање реалног броја из интервала)
• Догађај: подскуп $\Omega$ (нотација: $A$, $B$, ...)
  • Догађај се реализује у експерименту ако се оствари у једном од исхода који су његови елементи.
  • Операције над догађајима:
    • $A \cup B$: A или B
    • $A \cdot B$: A и B (нотација за пресек се не користи)
    • $A \setminus B$: A, али не B
    • $A'$, $\overline{A}$, $A^C$: супротан догађај ($\Omega \setminus A$)

Вероватноћа

• Аксиоме вероватноће: Вероватноћа је функција $P$ дефинисана над подскуповима неког скупа $\Omega$ ако важи:
  1. $P(\Omega) = 1$
  2. $\forall A \subset \Omega, P(A) \in [0, 1]$
  3. $P(A_1 \cup A_2 \cup ...) = P(A_1) + P(A_2) + ...$, где су $A_1, A_2, ... \subset \Omega$ који су међусобно искључиви и којих има коначно или пребројиво бесконачно
• Статистичко одређивање вероватноће: изводимо експеримент $n$ пута и региструјемо догађај $A$, тако да нам је $m(n)$ број реализација догађаја $A$:
  • релативна фреквенција догађаја: $\frac{m(n)}{n}$
  • $P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{m(n)}{n}$
• Модел једнаковероватности исхода: ако су сви исходи из скупа $\Omega$ једнаковероватни а број чланова је $n$, онда се вероватноћа догађаја $A \subset \Omega$ може одредити као количник броја повољних и свих исхода: $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$
• Геометријска вероватноћа: за непребројив скуп $\Omega$ који може да се представи геометријски као ограничени објекат (интервал праве, лик у равни, тело у простору) и догађај $A \subset \Omega$ важи $P(A) = \frac{m(A)}{m(\Omega)}$ где је $m$ мера тог објекта (дужина, површина, запремина).
  • Услов: једнаковероватни догађаји су представљени скуповима исте мере и обрнуто

Особине вероватноће

• Теорема 1.1: $P(A') = 1 - P(A)$
  • Доказ: како су $A$ и $A'$ међусобно искључиви, важи $A \cup A' = \Omega$, па из $P(A \cup A') = P(\Omega)$ и трећег аксиома вероватноће добијамо $P(A) + P(A') = 1$.
• Теорема 1.2: $P(\emptyset) = 0$
  • Доказ: из $\Omega' = \emptyset$ и теореме 1.1 следи да је $P(\emptyset) = 1 - P(\Omega) = 0$
• Теорема 1.3: $P(A \setminus B) = P(A) - P(AB)$
  • Доказ:
    • Ако су A и B међусобно искључиви, важи да је $A \setminus B = A$, па важи да је $P(A \setminus B) = P(A) = P(A) - P(\emptyset) = P(A) - P(AB)$
    • Ако нису, важи да је $A = (A \setminus B) \cup AB$, па из трећег аксиома добијамо $P(A) = P(A \setminus B) + P(AB) \implies P(A \setminus B) = P(A) - P(AB)$
• Теорема 1.4: $A \subset B \implies P(A) \leq P(B)$
  • Доказ: $P(B) = P(A) + P(B \setminus A)$, а пошто по другој аксиоми $P(B \setminus A)$ онда следи $P(B) \geq P(A)$
• Теорема 1.5: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
  • Доказ:
    • Ако су међусобно искључиви, $P(AB) = 0$ тако да доказ следи по трећој аксиоми
    • Ако нису, $P(A \cup B) = P(A \setminus B) + P(B) = P(A) - P(AB) + P(B)$ по трећој аксиоми и теореми 1.3
  • Такође важи и $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$