Математика 2/Јун 2021

Овај рок није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Јунски рок 2021. године одржан је 13. јуна. Поправни колоквијум је носио 12 бодова, а испит 24.

Поправни колоквијум

1. задатак

Поставка

[3+3] Наћи следеће неодређене интеграле:

1. $\int \frac{x^3}{\left(x^2+1 \right) \sqrt{x^2+1}} dx$
2. $\int \frac{x(ln(1+x)+ln(1-x))^2}{x^2-1} dx$

2. задатак

Поставка

[6] Израчунати површину фигуре ограничене луком криве: $f(x)=e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{-x}}$, правом $x=1$ и $x$-осом.

Испит

1. задатак

Поставка

[4+2] Дата је диференцијална једначина првог реда $y'cosx+ysinx=2cos^3xsinx-1, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$.

1. Наћи опште решење дате диференцијалне једначине.
2. Наћи оно решење $y_p(x)$ дате диференцијалне једначине које задовољава услов $y_p\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3\sqrt{2}$.

2. задатак

Поставка

[6] Дата је матрица $A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -3 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & a+1 \end{bmatrix}$. У зависности од вредности реалног параметра $a$, одредити ранг дате матрице $A$.

3. задатак

Поставка

[2+2+2] Испитати конвергенцију следећих редова и уколико су редови конвергентни, сумирати их:

1. $\sum^{+\infty}_{n=1} \sqrt[n]{31}-\sqrt[n+1]{31}$
2. $\sum^{+\infty}_{n=1} \frac{n^3}{{\left( \frac{1}{10} + \frac{1}{n} \right)}^n}$
3. $\sum^{+\infty}_{n=1} \frac{(2n)!}{n2^{2n}}$

4. задатак

Поставка

[4+2] Дате су праве:

$p: x=1+2t, y=1-t, z=3t$,

$q: x=y, x+y+z=1$ и

$r: x=s, y=1+s, z=2s$, $t, s \in \mathbb{R}$.

1. Одредити једначину равни $\pi$ која је паралелна са правом $p$ и садржи праву $q$.
2. Одредити координате тачке пресека $\pi$ са правом $p$.