Verovatnoća i statistika/K2 2022

1. zadatak

Postavka

Neka je data funkcija gustine slučajne promenljive $X$ sa $f_{X}(x) = \begin{cases} -e^{-x}\text{ ,} & x>0 \\ 0\text{ ,} & x \leq 0 \end{cases}$. Naći funkciju raspodele slučajne promenljive $Y=X^2$.

Rešenje

$F_{Y}(y) = \begin{cases} e^{-\sqrt{y}}-1\text{ ,} & y>0 \\ 0\text{ ,} & y \leq 0 \end{cases}$

2. zadatak

Postavka

1. Navesti tri osobine matematičkog očekivanja po izboru.
   
2. Neka je funkcija raspodele slučajne promenljlive $X$ data sa $F(x) = \begin{cases} 0\text{ ,} & x \leq 0 \\ \frac{x^2}{4}\text{ ,} & 0<x<2 \\ 1\text{ ,} & x \geq 2 \end{cases}$. Naći $E(2X-3)$.

Rešenje

$-\frac{1}{3}$

3. zadatak

Postavka

Neka je $X$ slučajna promenljiva sa Puasonovom raspodelom sa parametrom $\lambda = 2$, a $Y$ slučajna promenljiva sa normalnom raspodelom sa očekivanjem $2$ i varijansom $9$. Ako su $U=X+Y$ i $V=X-Y$, odrediti $\rho (U, V)$.

Rešenje

$-\frac{7}{11}$

4. zadatak

Postavka

$X_1, \ldots, X_n$ su nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom, očekivanjem $m$ i varijansom $s^2$.

1. Naći $E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right)$ i $Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right)$.
2. Korišćenjem nejednakosti Čebiševa naći najmanje $n$, tako da $P\left(\left|\frac{X_1+ \ldots+ X_n - n}{n}\right| \geq 0.5 \right) \leq 0.1$.

Rešenje

1. $E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = m$$;\quad$$Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = \frac{s^2}{n}$
   
2. $n_{\text{min}} = 14$

5. zadatak

Postavka

Kockica se baca $540$ puta. Koja je verovatnoća da će šestica pasti između $100$ i $120$ puta? Navesti definiciju teoreme koja je korišćena.

Rešenje

Korišćenjem centralne granične teoreme se dobija $P = 0.1248$.