Вероватноћа и статистика/К2 2022

1. задатак

Поставка

Нека је дата функција густине случајне променљиве $X$ са $f_{X}(x) = \begin{cases} -e^{-x}\text{ ,} & x>0 \\ 0\text{ ,} & x \leq 0 \end{cases}$. Наћи функцију расподеле случајне променљиве $Y=X^2$.

Решење

$F_{Y}(y) = \begin{cases} e^{-\sqrt{y}}-1\text{ ,} & y>0 \\ 0\text{ ,} & y \leq 0 \end{cases}$

2. задатак

Поставка

1. Навести три особине математичког очекивања по избору.
   
2. Нека је функција расподеле случајне променљливе $X$ дата са $F(x) = \begin{cases} 0\text{ ,} & x \leq 0 \\ \frac{x^2}{4}\text{ ,} & 0<x<2 \\ 1\text{ ,} & x \geq 2 \end{cases}$. Наћи $E(2X-3)$.

Решење

$-\frac{1}{3}$

3. задатак

Поставка

Нека је $X$ случајна променљива са Пуасоновом расподелом са параметром $\lambda = 2$, а $Y$ случајна променљива са нормалном расподелом са очекивањем $2$ и варијансом $9$. Ако су $U=X+Y$ и $V=X-Y$, одредити $\rho (U, V)$.

Решење

$-\frac{7}{11}$

4. задатак

Поставка

$X_1, \ldots, X_n$ су независне случајне променљиве са истом расподелом, очекивањем $m$ и варијансом $s^2$.

1. Наћи $E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right)$ и $Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right)$.
2. Коришћењем неједнакости Чебишева наћи најмање $n$, тако да $P\left(\left|\frac{X_1+ \ldots+ X_n - n}{n}\right| \geq 0.5 \right) \leq 0.1$.

Решење

1. $E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = m$$;\quad$$Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = \frac{s^2}{n}$
   
2. $n_{\text{min}} = 14$

5. задатак

Поставка

Коцкица се баца $540$ пута. Која је вероватноћа да ће шестица пасти између $100$ и $120$ пута? Навести дефиницију теореме која је коришћена.

Решење

Коришћењем централне граничне теореме се добија $P = 0.1248$.