Matematika 2/Predavanja P2/P3

Ova stranica sadrži materijale sa predavanja za grupe P2 i P3 kod profesorki Tatjane Lutovac i Marije Rašajski.

Neodređeni integral

Definicija 1.1

Primitivna funkcija date funkcije $f$ na datom intervalu $I$ je svaka funkcija $F(x)$ za koju važi $(\forall x \in I) F'(x) = f(x)$.

Teorema 1.1

1. Ako je $F$ primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$ tada je i funkcija $F(x) + c$ takođe primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$.
   Dokaz: $(\forall x \in I) (F(x) + c)' = F'(x) = f(x)$
2. Ako su $F_1(x)$ i $F_2(x)$ primitivne funkcije funkcije $f$ na intervalu $I$, tada postoji konstanta $C \in \mathbb{R}$ tako da $(\forall x \in I) F_1(x) = F_2(x) + C$
   Dokaz: $F_1(x)$, $F_2(x)$ su primitivne funkcije funkcije $f$ na intervalu $I$. Posmatrajmo $F_1(x) - F_2(x)$ na intervalu $I$:

   $(\forall x \in I) (F_1(x) - F_2(x))' = f(x) - f(x) = 0 \implies (\exists c \in \mathbb{R}) (\forall x \in I) F_1(x) - F_2(x) = c$

Definicija 1.2

Skup svih primitivnih funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$ zove se neodređeni integral funkcije $f$ na intervalu $I$: $\{F(x) + c | c \in \mathbb{R}\}$ (gde je $F(x)$ jedna primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$).

Teorema 1.2

Ako funkcije $f(x)$ i $g(x)$ imaju primitivnu funkciju na intervalu $I$ tada na tom intervalu važi sledeće:

1. $d\left(\int f(x) dx\right) = f(x) \cdot dx$
2. $\left(\int f(x) dx\right)' = f(x)$
3. $\int dF(x) = F(x) + c$, $c \in \mathbb{R}$
4. Linearnost integrala: $\int (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \int \alpha f(x) dx + \int \beta g(x) dx$

Dokaz

1. $d\left(\int f(x) dx\right) = d(F(x) + c) = d(F(x)) = F'(x) \cdot dx = f(x) \cdot dx$
2. $\frac{d\left(\int f(x) dx\right)}{dx} = \left(\int f(x) dx\right)' = f(x)$
3. $\int dF(x) = \int F'(x) dx = \int f(x) dx = F(x) + c$, $c \in \mathbb{R}$

Tablica neodređenih integrala

1. $\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$, $\alpha \neq -1$
2. $\int \frac{1}{x} dx = ln|x| + C$, $x \neq 0$
3. $\int \alpha^x dx = \frac{\alpha^x}{ln \alpha} + C$, $a > 0, a \neq 1$
4. $\int e^x dx = e^x + C$
5. $\int \frac{dx}{1 + x^2} = arctg x + C = -arcctg x + C_1$
6. $\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = arcsin x + C = -arccos x + C_1$ ($|x| < 1$)
7. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm 1}} = ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm 1}\right| + C = \left\{ \begin{array}{ll} arsh x + C & za + \\ arch x + C & za - i x > 1 \end{array} \right.$
8. $\int \frac{dx}{1 - x^2} = \frac{1}{2} ln\left|\frac{1 + x}{1 - x}\right| + C = \left\{ \begin{array}{ll} arth x + C & za \left|x\right| < 1 \\ arcth x + C & za \left|x\right| > 1 \end{array} \right.$
9. $\int sinx dx = -cos x + C$
10. $\int cos x dx = sin x + C$
11. $\int \frac{dx}{cos^2 x} = tg x + C$
12. $\int \frac{dx}{sin^2 x} = -ctg x + C$
13. $\int sh x dx = ch x + C$
14. $\int ch x dx = sh x + C$
15. $\int \frac{dx}{ch^2 x} = th x + C$
16. $\int \frac{dx}{sh^2 x} = -cth x + C$

Metod smene promenljive

Teorema 1.3

Neka je funkcija $f$ neprekidna funkcija na intervalu $I$ i neka je $\int f(x) dx = F(x) + C$, $C \in \mathbb{R}$. Neka je funkcija $\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I$ i neka su $\varphi$ i $\varphi'(x)$ neprekidne i $\left(\forall x \in (\alpha, \beta)\right) \varphi'(x) \neq 0$. Tada važi:

$\int f(x) dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt = F(\varphi(t)) + c$ ($x = \varphi(t)$, $t \in (\alpha, \beta)$, $\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I$)

Metod parcijalne integracije

Teorema 1.4

Ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne na $I$ i ako na $I$ postoje primitivne funkcije funkcija $u'(x)v(x)$ i $u(x)v'(x)$ tada na $I$ važi:

$\int u(x)dv(x) = u(x) \cdot v(x) - \int v(x) du(x) + C$

Svođenje kvadratnog trinoma na kanonski oblik

$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a\left(x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(\frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}\right)\right)$

Integracija racionalnih funkcija

Definicija 1.3

Racionalna funkcija je funkcija oblika $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ gde su $P_n(x)$ i $Q_m(x)$ polinomi reda $n$ i $m$. Prava racionalna funkcija je racionalna funkcija gde je $n < m$. Kako bi se primenio metod integracije racionalnih funkcija, racionalna funkcija se mora svesti na pravu. Nakon toga, polinom $Q_m(x)$ se mora rastaviti na realne faktore i sa svaki se mora odrediti zbir elementarnih racionalnih funkcija (parcijalnih razlomaka). Podintegralna funkcija jednaka je zbiru svih parcijalnih razlomaka, odakle se dobiju neodređeni koeficijenti.

Realni faktor	Zbir parcijalnih razlomaka
$(x - a)^k$, $a \in \mathbb{R}$, $k \in \mathbb{N}$	$\frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + ... + \frac{A_k}{(x - a)^k}$
$(x^2 + px + q)^k$, $p - 4q < 0$, $k \in \mathbb{N}$	$\frac{A_1x + B_1}{x^2 + px + q} + \frac{A_2x + B_2}{(x^2 + px + q)^2} + ... + \frac{A_kx + B_k}{(x^2 + px + q)^k}$

Integracija nekih iracionalnih funkcija

1. $\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}dx = Q_{n-1}(x) \sqrt{ax^2 + bx + c} + \lambda \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}$
2. • $\sqrt{a^2 - x^2}$ - smena: $x = asin(t)$
   • $\sqrt{x^2 - a^2}$ - smena: $x = \frac{a}{cos(t)}$
   • $\sqrt{x^2 + a^2}$ - smena: $x = atg(t)$
3. $\int R\left(x, \left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)^{\frac{p_1}{q_1}}, ..., \left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)^{\frac{p_k}{q_k}}\right)dx$, smena: $\frac{ax + b}{cx + d} = t^{NZS(q_1, q_2, ..., q_k)}$

Integracija trigonometrijskih funkcija

1. Ako podintegralna funkcija zavisi od $sin(x)$ i/ili $cos(x)$ i zamenom $sin(x)$ za $-sin(x)$ i $cos(x)$ za $-cos(x)$ se dobije ista funkcija, smena koja se primenjuje je $t = tg(x)$.
2. Ako podintegralna funkcija zavisi od $sin(x)$ i/ili $cos(x)$ i zamenom $cos(x)$ za $-cos(x)$ se dobije negacija iste funkcije, smena koja se primenjuje je $t = sin(x)$.
3. Ako podintegralna funkcija zavisi od $sin(x)$ i/ili $cos(x)$ i zamenom $sin(x)$ za $-sin(x)$ se dobije negacija iste funkcije, smena koja se primenjuje je $t = cos(x)$.
4. U suprotnom može se primeniti smena $t = tg\frac{x}{2}$ koja može dovesti do komplikovanih racionalnih funkcija.

Rimanov određeni integral

Definicija 2.1

Podela segmenta $[a, b]$ je konačan skup tačaka $\{x_0, x_1, ..., x_n\}$ gde $a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_{n-1} < x_n = b$ (oznaka $P$). Na svakom $[x_{i-1}, x_i]$, $i = 1...n$ biramo prozvoljnu tačku $t_i$ i nazivamo ih istaknutim tačkama.

Suma $\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i - 1})$ zove se integralna (Rimanova) suma funkcije $f$ na segmentu $[a, b]$, za izabranu podelu $P$ sa izabranim istaknutim tačkama $t_1, t_2, ..., t_n$ (oznaka $S(f, a, b, P, t)$).

Definicija 2.2

Norma podele $P$ (oznaka $||P||$) je $max(x_i - x_{i - 1})$, gde $1 \leq i \leq n$.

$||P|| \to 0 \implies n \to +\infty$, ali ne važi i $n \to +\infty \implies ||P|| \to 0$.

Definicija 2.3

Ako postoji realan broj $I$ tako da $\lim_{||P|| \to 0} \left(\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i-1})\right) = I$ za svaku podelu $P$ na segmentu $[a, b]$ tada se taj broj zove Rimanov (određeni) integral funkcije $f$ na segmentu $[a, b]$ (oznaka $\int_a^b f(x) dx$).

Definicija 2.4

Funkcija $f$ je integrabilna na segmentu $[a, b]$ ako postoji $I \in \mathbb{R}$ tako da $\lim_{||P|| \to 0} \left(\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i-1})\right) = I$.

Posledice

1. $\int_a^a f(x) dx = 0$
2. $a < b$, $\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx$

Potrebni i dovoljni uslovi za integrabilnost

Teorema 2.1

1. Ako je funkcija $f$ integrabilna na odsečku $[a, b]$ tada je $f$ ograničena na $[a, b]$.
2. Ako je $f$ neprekidna na $[a, b]$ tada je $f$ integrabilna na $[a, b]$.
3. Ako je $f$ definisana i ograničena na $[a, b]$ i ako na odsečku $[a, b]$ ima konačno mnogo tačaka prekida, tada je $f$ integrabilna na $[a, b]$.
4. Ako je $f$ monotona na odsečku $[a, b]$ tada je $f$ integrabilna na $[a, b]$.

Svojstva Rimanovog određenog integrala

Teorema 2.2

Neka su funkcije $f$ i $g$ integrabilne na $[a, b]$. Tada važi:

1. Linearnost integrala: $\int_a^b \left(\alpha f(x) + \beta g(x)\right) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$
2. Aditivnost integrala: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$, $c \in [a, b]$
3. Modularna nejednakost: Funkcija $|f(x)|$ je integrabilna na $[a, b]$ i važi $\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx$
4. Funkcija $f(x) \cdot g(x)$ je integrabilna na $[a, b]$.
5. Funkcija $f(x)$ je integrabilna na $[\alpha, \beta] \subseteq [a, b]$.
6. Ako je $(\forall x \in [a, b]) f(x) = f_1(x)$ osim u konačno mnogo tačaka, tada je funkcija $f_1$ integrabilna na $[a, b]$ i važi $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f_1(x) dx$.
7. • $(\forall x \in [a, b]) f(x) \geq 0 \implies \int_a^b f(x) dx \geq 0$
   • $(\forall x \in [a, b]) f(x) > 0 \implies \int_a^b f(x) dx > 0$
8. Monotonost integrala:
   • $(\forall x \in [a, b]) f(x) \leq g(x) \implies \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx$
   • $(\forall x \in [a, b]) f(x) < g(x) \implies \int_a^b f(x) dx < \int_a^b g(x) dx$

Veza između Rimanovog određenog integrala i neodređenog integrala

Teorema 2.3

Ako je $f$ neprekidna funkcija na intervalu $I$ i ako je $F$ bilo koja primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$, tada za svaki segment $[a, b] \subset I$ važi:

$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

Metodi integracije određenog integrala

Teorema 2.4

(Parcijalna integracija) Ako su funkcije $u(x)$, $v(x)$, $u'(x)$ i $v'(x)$ neprekidne na $[a, b]$ tada je

$\int_a^b u(x) dv(x) = (u(x) v(x)) |_a^b - \int_a^b v(x) du(x)$

Teorema 2.5

(Smena promenljive kod određenog integrala)

1. Smena $x = \varphi(t)$: $\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) dt$ ako važi sledeće:
   • funkcija $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ je neprekidna,
   • $a = \varphi(\alpha)$, $b = \varphi(\beta)$,
   • funkcije $\varphi: [\alpha, \beta] \to [a, b]$ i $\varphi'$ su neprekidne na $[\alpha, \beta]$
   • funkcija $f(\varphi(t))$ je definisana za sve vrednosti $t \in [\alpha, \beta]$.
2. Smena $t = g(x)$: $\int_a^b f(g(x)) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(t) \cdot (g^{-1}(t))' dt$ ako važi sledeće:
   • funkcija $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ je neprekidna,
   • $g(a) = \alpha$, $g(b) = \beta$,
   • funkcija $g$ je strogo monotona na $[a, b]$
   • inverzna funkcija $g^{-1}$ ima neprekidan izvod na $[\alpha, \beta]$.

Teorema 2.6

Ako je $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ neprekidna i periodična funkcija sa periodom $T$, tada važi:

$\int_0^T f(x) dx = \int_a^{a+T} f(x) dx$, ($a \in \mathbb{R}$)

Teorema 2.7

Ako je $f$ neprekidna funkcija na $[-a, a]$, tada važi:

$\int_{-a}^a f(x) dx = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & ako je f neparna funkcija \\ 2 \int_0^a f(x) dx, & ako je f parna funkcija \end{array} \right.$

Teorema 2.8

Ako je $f$ neprekidna na $[a, b]$ i $(\forall x \in [a, b]) f(x) \geq 0$ tada je površina figure koja je ograničena krivom $y = f(x)$, pravima $x = a$, $x = b$, i $x$-osom jednaka $\int_a^b f(x) dx$.

Nesvojstveni integrali

Nesvojstveni integrali su integrali čiji interval integracije nije konačan ili podintegralna funkcija nije ograničena na intervalu.

Definicija 2.5

(Beskonačan interval)

1. Neka je $f$ definisana na $[a, +\infty)$ i neka je integrabilna na svakom konačnom segmentu $[a, \beta] \subset [a, +\infty)$.

   $\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{\beta \to +\infty} \left(\int_a^{\beta} f(x) dx\right)$

2. Neka je $f$ definisana na $(-\infty, b)$ i neka je integrabilna na svakom konačnom segmentu $[\alpha, b] \subset (-\infty, b]$.

   $\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{\alpha \to -\infty} \left(\int_{\alpha}^b f(x) dx\right)$

3. Neka je $f$ definisana na $\mathbb{R}$ i neka je integrabilna na svakom konačnom segmentu $[\alpha, \beta] \subset \mathbb{R}$.

   $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^{+\infty} f(x) dx = \lim_{\alpha \to -\infty} \left(\int_{\alpha}^c f(x) dx\right) + \lim_{\beta \to +\infty} \left(\int_c^{\beta} f(x) dx\right)$

   ($c \in \mathbb{R}$)

Definicija 2.6

(Neograničena podintegralna funkcija)

1. Neka je $f$ definisana na $[a, b)$ i neka nije ograničena u levoj okolini tačke $b$.

   $\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to b^{-}} \int_a^c f(x) dx$

2. Neka je $f$ definisana na $(a, b]$ i neka nije ograničena u desnoj okolini tačke $a$.

   $\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to a^{+}} \int_c^b f(x) dx$

3. Neka je $f$ definisana na $(a, b)$ i neka nije ograničena u levoj okolini tačke $b$ i desnoj okolini tačke $a$.

   $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \lim_{d \to a^{+}} \left(\int_d^c f(x) dx\right) + \lim_{e \to b^{-}} \left(\int_c^e f(x) dx\right)$

   ($c \in \mathbb{R}$)

Funkcije više promenljivih

Definicija 3.1

Preslikavanje $f: D \to \mathbb{R}$ gde je $D \subseteq \mathbb{R}^n$ zove se realna funkcija sa $n$ nezavisnih promenljivih čiji je domen $D$.

Granična vrednost i neprekidnost

Definicija 3.2

Rastojanje između tačaka $X$ i $Y$ gde su $X, Y \in \mathbb{R}^n$ tako da $X = (x_1, x_2, ..., x_n)$ i $Y = (y_1, y_2, ..., y_n)$ jednako je $d(X, Y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + ... + (x_n - y_n)^2}$

Definicija 3.3

Neka je data tačka $M_0(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ i neka je dato $\delta > 0$ ($\delta \in \mathbb{R}$). $\delta$-okolina tačke $M_0$ je tada skup $\{M = (x, y) \in \mathbb{R}^2|d(M_0, M) < \delta\}$.

Definicija 3.4

Neka je $f$ definisana u nekoj okolini tačke $M_0(x_0, y_0)$ ($K[x_0, r)$ za $r > 0$).

1. $\lim_{x \to x_0, y \to y_0} f(x, y) = a \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall M(x, y) \in D_f)(0 < d(M_0, M) < \delta \implies f(M) \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon))$ ($a \in \mathbb{R}$)
2. $\lim_{X \to M_0} f(X) = +\infty \iff (\forall E \in \mathbb{R})(\exists \delta(E) > 0)(\forall M(x, y) \in D_f)(0 < d(M_0, M) < \delta \implies f(M) \in (E, +\infty))$
3. $\lim_{X \to M_0} f(X) = -\infty \iff (\forall E \in \mathbb{R})(\exists \delta(E) > 0)(\forall M(x, y) \in D_f)(0 < d(M_0, M) < \delta \implies f(M) \in (-\infty, E))$

Definicija 3.5

Neka je $f(x, y)$ definisana u nekoj okolini tačke $M_0(x_0, y_0)$. Ako je $\lim_{X \to M_0} f(X) = f(M_0)$ kaže se da je $f$ neprekidna u $M_0$.

Definicija 3.6

Ako je $f$ neprekidna u svakoj tački neke oblasti $S \subseteq D_f$ kažemo da je neprekidna u oblasti $S$.

Parcijalni izvodi

Definicija 3.7

Neka je $f(x, y)$ definisana na nekoj oblasti $S \subseteq D_f \subseteq \mathbb{R}^2$. Neka tačke $M_0(x_0, y_0)$, $(x_0 + \Delta x, y_0)$, $(x_0, y_0 + \Delta y)$ i $(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)$ pripadaju $S$. Razlika $f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$ zove se (parcijalni) priraštaj funkcije $f$ po promenljivoj $x$ u tački $(x_0, y_0)$. Razlika $f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$ zove se (parcijalni) priraštaj funkcije $f$ po promenljivoj $y$ u tački $(x_0, y_0)$. Razlika $f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$ zove se potpuni priraštaj.

Definicija 3.8

Ako postoji $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$ on se zove prvi parcijalni izvod po promenljivoj $x$ funkcije $f$. Ako postoji $\lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}$ on se zove prvi parcijalni izvod po promenljivoj $y$ funkcije $f$. Oznaka: $f'_x(x, y)$ ili $\frac{\partial f}{\partial x}|_{M_0(x_0, y_0)}$.

Definicija 3.9

$f$ je diferencijabilna u $M_0$ ako i samo ako se $f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0, y_0)$ može predstaviti u obliku $\Delta f = A \Delta x + B \Delta y + h(\Delta x, \Delta y)$ gde su $A$ i $B$ brojevi tako da $\lim_{\Delta x \to 0, \Delta y \to 0} \frac{h(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} = 0$ i $A$ i $B$ zavise samo od koordinata $x_0$ i $y_0$, i gde se $A \Delta x + B \Delta y$ naziva totalnim diferencijalom u $M_0$ (oznaka $df$).

Teorema 3.1

Ako je $f(x, y)$ diferencijabilna u $M_0(x_0, y_0)$ onda je $f(x, y)$ neprekidna u $M_0$, iz čega sledi da postoje parcijalni izvodi $f(x, y)$ u $M_0$.

Teorema 3.2

Ako $f(x, y)$ ima parcijalne izvode u nekoj okolini $M_0$ i ako su ti parcijalni izvodi neprekidni u $M_0$ tada je $f(x, y)$ diferencijabilna u $M_0$ i važi:

$df = \frac{\partial f}{\partial x}|_{M_0} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}|_{M_0} \Delta y = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

Parcijalni izvodi višeg reda

$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$

Mešoviti parcijalni izvodi: $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$

Viši diferencijali: $d^2 f = d(df) = d\left(\frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy\right) = d\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) dx + \frac{\partial f}{\partial x} d(dx) +$

$+ d\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) dy + \frac{\partial f}{\partial y} d(dy) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dx + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} dy\right) dx + \left(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} dx + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} dy\right) dy =$

$= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dx^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} dx dy + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} dy^2$

Teorema 3.3

Ako su $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ i $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ neprekidne funkcije u oblasti $S$ tada su one u toj oblasti jednake.

Lokalne ekstremne vrednosti

Definicija 3.10

$M_0(x_0, y_0)$ je lokalni maksimum (odnosno minimum) funkcije $f(x, y)$ ako i samo ako postoji okolina $K[M_0, \delta)$ ($\delta > 0$) tako da važi $(\forall M \in K[M_0, S)) f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)) \leq 0$ (odnosno $\geq 0$).

Teorema 3.4

Ako $f$ u $M_0$ ima lokalnu ekstremnu vrednost tada u $M_0$ važi da $\frac{\partial f}{\partial x}|_{M_0} = 0$ i $\frac{\partial f}{\partial y}|_{M_0} = 0$.

Teorema 3.5

Neka je $M_0$ stacionarna tačka $f(x, y)$. Uvodimo oznake $A = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $B = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$, $C = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ i $\Delta(M_0) = (A \cdot C - B^2)|_{M_0}$.

1. Ako je $\Delta(M_0) > 0$, onda $f$ ima lokalni ekstremum u $M_0$ i to:
   • minimum ako $A > 0$
   • maksimum ako $A < 0$
2. Ako je $\Delta(M_0) < 0$, onda nemamo lokalni ekstremum u $M_0$.
3. Ako je $\Delta(M_0) = 0$ onda moramo vršiti dodatna ispitivanja kako bismo odredili da li ima lokalnog ekstremuma u toj tački.