Matematika 2/Jun 2020

Prvi deo

Teorija

1. zadatak

• Definisati primitivnu funkciju
• Definisati neodređeni integral
• Uvesti smenu u sledeće integrale, ispisati bez sređivanja i rešavanja:

Integral	Smena	Integral sa smenom
$\int \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x}}dx$
$\int \frac{sinx}{sinx+cosx}dx$

• Sledeće integrale rešiti samo ako su nesvojstveni:

$\int\limits_0^{+\infty} g(x)dx$

$\int\limits_1^5 g(x)dx$

$\int\limits_{-1}^{3} g(x)dx$

Ako je $g(x) = \frac{1}{(x-5)^2}$

2. zadatak

• Izvesti rešenje linearne diferencijalne jednačine $y'(x) = Q(x)y(x) + P(x)$
• Kojeg su tipa sledeće diferencijalne jednačine:

$y' + e^{\frac{y}{x}} = \frac{y}{x}$

$y' = \sqrt{\frac{1+x^2}{1+y^2}}$

• Iskazati metodu varijacije konstanata
• Rešiti sledeću diferencijalnu jednačinu: $y'' + y = \frac{1}{sinx}$

Zadaci

1. zadatak

• Izvesti rekurentu formulu za integral $\int sin^nxdx$
• Rešiti integral $\int sin^4x cos^2x dx$
• Naći površinu koju ograničava kriva $y = sinx$ i prava $y = -1$

2. zadatak

• Rešiti diferencijalnu jednačinu $y' - y = 2cosx - 4sinx$
• Rešiti diferencijalnu jednačinu $y'' - y = 2cosx - 4sinx$

Drugi deo

1. zadatak

1. Za red sa pozitivnim članovima definisati Dalamberov kriterijum.
2. Za red sa pozitivnim članovima definisati Košijev koreni kriterijum.
3. Ispitati konvergentnost reda $\frac{2k + 3}{4k + 5}^k$.

2. zadatak

1. Napisati teoremu o broju kombinacija s ponavljanjem.
2. Za zadati skup ${c, T, 2}$ napisati sve kombinacije sa ponavljanjem i odrediti koliko ih ima.
3. Za pravu zadatku kao presek dve ravni detaljno opisati dva načina za nalaženje njenog parametarskog oblika ukoliko su date jednačine te dve ravni.
4. Za zadate jednačine dve ravni odrediti parametarsku jednačinu prave na oba načina: (?)

1. zadatak

Dati su vektori $v_1 = (1, k, k)$, $v_2 = (-1, 1, 1)$ i $v_3 = (-2, 1, k)$. Odrediti:

1. linearnu zavisnost vektora u odnosu na vrednost $k$,
2. ukoliko $k = \sqrt{2} - 1$, odrediti površinu paralelograma koju grade $v_1$ i $v_2$,
3. ukoliko $k = 2$, odrediti zapreminu parelelepipeda koji grade ova tri vektora.

2. zadatak

Ispitati konvergenciju redova i sumirati ako su konvergentni:

1. $\sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$
2. $\sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{2^n + 1}{4^n}$
3. $\sum_{n = 2}^{+\infty} \left(n^2\left(\frac{1}{2} + \frac{2}{n}\right)\right)^{-n}$

Domaći

P1

1. zadatak

1. $\int \frac{1}{x^2 + 2x + 2}$
2. $\int \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 2}$

2. zadatak

Odrediti ono partikularno rešenje diferencijalne jednačine $(x + 1) dx + (y - 1) dy = 0$ koje prolazi kroz tačku $(1, 1)$.

3. zadatak

Naći ekstremume: $z(x, y) = x^2 + y^2 - 4(x - y)$

4. zadatak

Naći parametar $a$ tako da sopstvena vrednost matrice bude 2:

(?)

5. zadatak

Naći sve sedmocifrene brojeve u kojima se javljaju tri jedinice, dve dvojke i dve trojke.