Matematika 2/Septembar 2020

Ovaj rok nije rešen. Pomozite SI Wiki tako što ćete ga rešiti.

Prvi deo

Teorija

1. zadatak

1. Izračunati $\int_{-1}^1 f(x) dx$, ako je $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{(x + 1)^2}, & x \neq -1 \\ 27, & x = -1 \end{array} \right.$
2. Izračunati $\int_1^{10} g(x) dx$, ako je $g(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \ln x, & x \notin \{3, 5, 7, 9\} \\ -10^{35}, & x \in \{3, 5, 7, 9\} \end{array} \right.$.
3. Izračunati $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sin^3 x + tg x} dx$.

2. zadatak

Za funkciju $g(x) = \frac{1}{x^2 + \alpha x + \beta}$, gde $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ i $\alpha^2 - 4\beta < 0$, odrediti skup primitivnih(?) funkcija na intervalu $I = (-\infty, +\infty)$.

3. zadatak

Definicija opštog, singularnog i partikularnog rešenja diferencijalne jednačine:

4. zadatak

1. Kako glasi opšti oblik Bernulijeve diferencijalne jednačine
2. Kako se rešava Bernulijeva diferencijalna jednačina
3. Rešiti $6y' - 2y = xy^4$ sa početnim uslovima $y(0)=-2$

Zadaci

1. zadatak

Izračunati vrednost nesvojstvenog integrala $\int_0^{+\infty} \frac{arctgx}{(1 + x)^2} dx$.

2. zadatak

1. Odrediti tačke lokalnih ekstremuma funkcije $z(x,y) = x^4 + y^4 - 2x^2 + 4xy - 2y^2$.
2. Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine $y''' = 3y'' + 4y' - 2y = \cos x$.

Drugi deo

Teorija

1. zadatak

1. Definiši rang matrice
2. Naći rang matrice $\begin{bmatrix} 3 & b & b\\ b & 3 & b\\ b & b & 3 \end{bmatrix}$ u zavisnosti od $b$.

2. zadatak

1. Definiši karakteristični i minimalni polinom kvadratne matrice
2. Nađi karakterističan i minimalan polinom matrice $5I_n$ gde je $I_n$ jedinična matrica reda $n\in\mathbb{N}$.

3. zadatak

1. Definiši kombinaciju sa ponavljanjem
2. Za skup $T=\left \{ a,b,c,d \right \}$ napiši 5 kombinacija sa ponavljanjem sedme klase.
3. Prikazati model i objasniti način prebrojavanja kombinacija sa ponavljanjem na primerima iz prethodnog pitanja
4. Koliko ima skupova od $n$ elemenata klase $k$?

4. zadatak

1. Definicija ravni
2. Objasniti i nacrtati postupak prebacivanja iz vektorskog oblika ravni iz definicije u opšti oblik ravne.

Zadaci

1. zadatak

Naći $\lambda$ za koje sistem $\begin{matrix} 2x-y+z+t=1\\ x+2y-z+4t=2\\ x+7y-4z+11t=\lambda \end{matrix}$ ima rešenje pa rešiti sistem.

2. zadatak

1. Koliko delioca ima $13200$ uključujući $1$ i njega samog?
2. Koliko postoji preslikavanja skupa $\left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \}$ u $\left \{ 2,4,6 \right \}$ za $\left ( \forall a\in A \right ) f(a)\neq a$?