Verovatnoća i statistika/Jun 2021

Ispitni deo - Statistika

1. zadatak

Postavka

Neka su $X$ i $Y$ nezavisne slučajne promenljive sa $Unif(0, 1)$ raspodelom i neka važi za slučajne promenljive $U$ i $V$ važi $U = 2X + 4Y$, $V = X - Y$. Odrediti koeficijent korelacije za $\rho (U, V)$.

Rešenje

$-0.316$

2. zadatak

Postavka

Neka slučajna promenljiva $X$ ima raspodelu $Bin(100, p)$ sa verovatnoćom uspeha $p$, $0 < p < 1$. Na osnovu uzorka 34, 28, 47, 38, 53 broja realizovanih uspeha naći ocenu nepoznatog parametra $p$ koristeći metod maksimalne verodostojnosti.

Rešenje

$\frac{2}{5}$

3. zadatak

Postavka

1. Dati definiciju karakteristične funkcije slučajne promenljive $X$.
2. Dati iskaz teoreme koja opisuje osobinu karakteristične funkcije zbira dve slučajne promenljive.
3. Neka su $X$ i $Y$ nezavisne slučajne promenljive, gde $X$ ima $Unif(0, 1)$ raspodelu, a $Y$ je data zakonom raspodele $Y : \left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0.5 & 0.5 \\ \end{array}\right)$. Dokazati da slučajna promenljiva $Z = X + Y$ ima $Unif(1, 3)$ raspodelu.

4. zadatak

Postavka

Broj studenata na predavanjima je slučajna promenljiva sa $Poiss(36)$ raspodelom.

1. Koliko treba da ima mesta u učionici da bi sa verovatnoćom bar 99% svi prisutni studenti mogli da sede?
2. Koja aproksimacija je korišćena pod 1)? Objasniti kako se došlo do te aproksimacije.

Rešenje

Minimalan broj mesta je 50. Korišćena je aproksimacija Puasonove raspodele normalnom $N(36, 36)$ raspodelom.

5. zadatak

Postavka

Na osnovu uzorka obima 121 iz $N(\mu, \sigma^2)$ raspodele dobijeno je $\hat{\mu} = 1.2$ i $s^2 = 2.25$. Testirati hipotezu $H_0: \mu = 1$ protiv alternativne hipoteze $H_1: \mu > 1$ sa nivoom značajnosti 0.05. Objasniti postupak.

Rešenje

Hipoteza $H_0$ se ne odbacuje.