Signali i sistemi/Teorija

Signali

Podela

1. Prva podela
   1. Kontinualni (CT): $x(t): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
   2. Diskretni (DT): $x[n]: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$
2. Druga podela
   1. Deterministički
   2. Nedeterministički

Osnovni signali

CT

1. Jedinični odskočni signal: $u(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & t > 0 \\ 0 & t < 0 \\ u(0) & t = 0 \end{array} \right.$
2. Dirakov impuls:
   1. $(\forall t \neq 0) \delta(t) = 0$
   2. $\delta(0)$ nije definisano
   3. $\varepsilon > 0, \int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} \delta(t) dt = 1$
3. Veza između $u(t)$ i $\delta(t)$: $\frac{du(t)}{dt} = \delta(t)$
4. Osobina selektivnosti Dirakovog impulsa: $\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \delta(t - t_0) dt = x(t_0)$

Eksponencijalni CT signali

• Oblik: $e^{At}$
• $\sin(x) = \frac{e^{j\alpha} - e^{-j\alpha}}{2j}$
• $\cos(x) = \frac{e^{j\alpha} + e^{-j\alpha}}{2}$
• $A = \lambda$:
  • $\lambda > 0$: signal divergira
  • $\lambda < 0$: signal konvergira
• $A = j\omega$
  • $x(t) = e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j \sin(\omega t)$
  • Periodičnost sa periodom $T$: $(\exists T > 0) (\forall t) x(t) = x(t + T)$
  • Kružna učestanost: $\omega = \frac{2\pi}{T}$
  • Frekvencija: $f = \frac{1}{T}$
  • Zbir dva periodična signala perioda $T_1$ i $T_2$:
    • Perioda zbirnog signala: $T = mT_1 = nT_2$
    • Uslov periodičnosti: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{n}{m} \in \mathbb{Q}$
• $A = r + j\omega$
  • $x(t) = e^{rt} (\cos(\omega t) + j\sin(\omega t))$
  • $r$ — prigušenje

DT

1. Jedinični odskočni signal: $u[n] = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & n \geq 0 \\ 0 & n < 0 \end{array} \right.$
2. Jedinični diskretni impuls: $\delta[n] = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & n = 0 \\ 0 & n \neq 0 \end{array} \right.$

Eksponencijalni DT signali

• Oblik: $x[n] = a^n$
• $a \in \mathbb{R}$
  • $a > 0$: signal je divergentan
  • $a \in (0, 1)$: signal je konvergentan
  • $a \in (-1, 0)$: signal je alternirajuće konvergentan
  • $a < -1$: signal je alternirajuće divergentan
• $a = e^{j\Omega}$
  • $x[n] = \cos(\Omega n) + j\sin(\Omega n)$ (nisu nužno periodični)
  • Uslov periodičnosti: $(\exists k \in \mathbb{N}) \frac{2k\pi}{\Omega} \in \mathbb{N}$
  • Razlika od CT eksponencijalnih signala: $\omega_1 \neq \omega_2 \implies e^{j\omega_1 t} \neq e^{j\omega_2 t}$ ali $\Omega_1 \neq \Omega_2 \implies e^{j\Omega_1 n} \neq e^{j\Omega_2 n}$ samo ako $\Omega_1 - \Omega_2 = 2\pi n$

Transformacije vremenske promenljive

• Pomeranje u vremenu: $y(t) = x(t - t_0)$
• Refleksija (inverzija vremena): $y(t) = x(-t)$
• Skaliranje vremena: $y(t) = x(at), a \in \mathbb{R}$
  • Kod ovo izaziva decimaciju (skupljanje) ili interpolaciju (širenje).
  • Tipovi interpolacije (za $y[n] = x[an], a > 0$):
    • Linearna
    • Najbliži sused
    • Kvadratna
    • Splajn

Simetričnost signala

• Parni signal: $(\forall t) x(t) = x(-t)$
• Neparni signal: $(\forall t) x(t) = -x(-t)$
• Parni deo signala: $Ev \{x(t)\} = \frac{x(t) + x(-t)}{2}$
• Neparni deo signala: $Od \{x(t)\} = \frac{x(t) - x(-t)}{2}$

Konvolucija signala

• $x(t) * y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) y(t - \tau)$
• Komutativnost: $x(t) * y(t) = y(t) * x(t)$
• Asocijativnost: $(x(t) * y(t)) * z(t) = x(t) * (y(t) * z(t))$
• Distributivnost konvolucije prema sabiranju: $(x(t) + y(t)) * z(t) = x(t) * z(t) + y(t) * z(t)$

Sistemi

Podela

1. Prva podela
   1. Biološki
   2. Društveni
   3. Mehanički
      • transdjuseri (pretvaraju jednu fizičku veličinu u drugu)
      • filtri (izbacuju nepoželjne osobine iz signala)
      • analizatori (izvlače informacije iz signala)
      • generatori (stvaraju signale)
      • kompenzatori (popravljaju osobine drugih sistema)
      • komunikacioni medijumi (prenose signale)
2. Druga podela
   1. Kontinualni (CT)
   2. Diskretni (DT)
3. Treća podela
   1. SISO (Single Input Single Output)
   2. MISO (Multiple Input Single Output)
   3. SIMO (Single Input Multiple Output)
   4. MIMO (Multiple Input Multiple Output)
4. Sistemi sa negativnom povratnom spregom (smanjuju ulazni signal pri povećanju izlaznog signala)

Osobine sistema

Posedovanje memorije

Za kontinualni (diskretni) sistem kažemo da nema memoriju ako odziv u trenutku $t$ ($n$) zavisi isključivo od pobude u istom trenutku $x(t)$ ($x[n]$).

Kauzalnost (posledičnost)

Za kontinualni (diskretni) sistem kažemo da je kauzalan ako odzivu u trenutku $t$ ($n$) zavisi isključivo od pobudnog signala za argument $\tau \leq t$ ($m \leq n$)

Linearnost = homogenost + aditivnost

• Za sistem kažemo da je homogen ako za $k$ puta veću pobudu generiše $k$ puta veći odziv za bilo koju pobudu i za bilo koje $k$.
• Aditivnost: $x_1(t) \to y_1(t) \land x_2(t) \to y_2(t) \implies x_3(t) = x_1(t) + x_2(t) \to y_3(t) = y_1(t) + y_2(t)$
• Superpozicija: $x_1(t) \to y_1(t) \land x_2(t) \to y_2(t) \implies x_3(t) = ax_1(t) + bx_2(t) \to y_3(t) = ay_1(t) + by_2(t)$

Stacionarnost (vremenska nepromenljivost)

Za kontinualni (diskretni) sistem kažemo da je stacionaran ako iz pretpostavke da je za pobudu $x(t)$ ($x[n]$) on dao odziv $y(t)$ ($y[n]$) sledi činjenica da će za pobudu $x(t - t_0)$ ($x[n - n_0]$) odziv sistema biti $y(t - t_0)$ ($y[n - n_0]$) za svako $t_0$ ($n_0$) i za svako $x(t)$ ($x[n]$).

BIBO stabilnost

$(\exists B_1) (\forall t) |x(t)| \leq B_1 \implies (\exists B_2) (\forall t) |y(t)| \leq B_2$

LTI sistemi

• Sistemi koji su linearni i vremenski nepromenljivi.
• Impulsni odziv $h(t)$ je odziv LTI sistema kada mu se kao pobuda da Dirakov impuls.
• $y(t) = x(t) * h(t)$
• Nema memoriju $\implies h(t) = k\delta(t)$
• Kauzalan je $\implies (\forall t < 0) h(t) = 0$
• Potreban i dovoljan uslov da CT (DT) LTI sistem bude BIBO stabilan jeste da njegov impulsni odziv bude apsolutno integrabilan (sumabilan).
• Redna (kaskadna) veza LTI sistema: $h_e(t) = h_1(t) * h_2(t)$
• Paralelna veza LTI sistema: $h_e(t) = h_1(t) + h_2(t)$
• Simulacioni blok dijagram:
  • Komponente: integrator ($y(t) = \int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau$, samo kod CT), kašnjenje ($y[n] = x[n-1]$, samo kod DT), množač ($y(t) = ax(t)$), sabirač ($y(t) = \sum_{k = 1}^{n} x_k(t)$)
  • Direktna metoda pravljenja simulacionog blok dijagrama: Integralimo jednačinu onoliko puta koliki je red diferencijalne jednačine, rastavimo na pojedinačne integrale, te signale provučemo kroz integratore onoliko puta koliko su integraljeni, svaki provučemo kroz množač koji ih množi sa koeficijentom ispred integrala i na kraju sve provučemo kroz sabirač i dovedemo na izlaz.
  • Kanonička metoda: Ne razdvajaju se integrali, već se prvo oforme signali unutar njih pa se zatim provuku kroz integratore i na kraju kroz sabirač.

Furijeovi redovi

Uvod

• Sopstvene funkcije (eigen functions) su funkcije koje u konvoluciji sa drugim funkcijama vraćaju same sebe pomnožene sa nekom vrednošću (koja se naziva sopstvena vrednost - eigen value).
• Furijeova hipoteza: Svaki signal $x(t)$ koji je periodičan sa kružnom učestanošću $\omega_0$ može da se napiše pomoću trigonometrijskog reda (Furijeovog reda): $\sum_{-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}$
• Koeficijenti Furijeovog reda: $a_k = \frac{1}{T} \int_T x(t) e^{-jk\omega_0 t}$
  • Za realne signale važi $a_k = a_{-k}^{*}$
• Forme Furijeovog reda za realne signale:
  • $x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}$
  • $x(t) = a_0 + 2 \sum_{k = 1}^{+\infty} a_k \cos(k\omega_0 t + \theta_k)$
  • $a_k = B_k + jC_k$, $x(t) = a_0 + 2 \sum_{k = 1}^{+\infty} B_k \cos (k\omega_0 t) - C_k \sin(k\omega_0 t)$
• Kažemo da Furijeov red konvergira ako je zadovoljen uslov da $\lim_{L \to \infty} E_L = 0$. Signal $x(t)$ treba da zadovolji jedan od tri uslova da bi njegov red konvergirao:
  1. $x(t)$ je neprekidna funkcija vremena: $\lim_{a \to 0^+} x(t - a) = x(t) = \lim_{a \to 0^+} x(t + a)$
  2. $\int_T |x(t)|^2 dt < \infty$
  3. $\int_T |x(t)| dt < \infty$ i ispunjeni su Dirihleovi uslovi:
     1. Broj minimuma i maksimuma duž periode mora biti konačan
     2. Broj prekida duž jedne periode mora biti konačan
• Amplitudski spektar: $\left|X(j\omega)\right|$
• Fazni spektar: $arg X(j\omega)$
• Gibsov efekat ukazuje na fenomen koji se pojavljuje kada periodičnu funkciju sa prekidom aproksimiramo Furijeovim redom. Tada će u okolini tačke prekida sa povećavanjem broja sabiraka u aproksimaciji maksimum greške aproksimacije imati konstantnu vrednost (oko 0.18 puta vrednosti funkcije u okolini tačke prekida).

Furijeova transformacija

• Sintetička relacija: $x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} x(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$
• Analitička realcija: $x(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt$
• Česte transformacije:
  • $\delta(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} 1$
  • $u(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{j\omega} + \pi \delta(\omega)$
  • $e^{-at} u(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{a + j\omega}$
  • $e^{-at} x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(a + j\omega)$
• Konvergencija Furijeove transformacije: $\hat{x}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$, $\left|x(t) - \hat{x}(t)\right|^2 dt = 0$
• Hajzenbergov princip neodređenosti: Trajanje signala u vremenskom i frekvencijskom domenu je obrnuto recipročno.
• Likovi sličnog oblika signala u vremenskom odnosno frekvencijskom domenu će takođe biti veoma slični.
• Furijeova transformacija periodičnih signala: $x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} 2\pi \sum_{k = -\infty}^{+\infty} a_k \delta(\omega - k\omega_0)$
• Osobine Furijeove transformacije:
  • linearnost: $ax_1(t) + bx_2(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} ax_1(j\omega) + bx_2(j\omega)$
  • pomeranje u vremenu:
    • $x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{F}} e^{-j\omega t_0} x(j\omega) = x_1(j\omega)$
    • $\left|x_1(j\omega)\right| = \left|x(j\omega)\right|$
    • $arg x_1(j\omega) = arg x(j\omega) - \omega t_0$ (linearno pomeranje faze)
  • pomeranje u frekvencijskom domenu: $e^{j\omega_0 t} x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(j(\omega - \omega_0))$
  • amplitudska modulacija: $y(t) = \left[x(t) + B\right] \cos(\omega_C t + \Phi)$, $B$ — bias, $\omega_C$ — učestanost nosioca (carry)
  • skaliranje po vremenu i učestanosti: $x(at) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{|a|} x(j\frac{\omega}{a})$
  • diferenciranje i integraljenje:
    • u vremenskom domenu:
      • $\frac{dx(t)}{dt} \xrightarrow{\mathcal{F}} j\omega X(j\omega)$
      • $\int_{-\infty}^t x(\tau) d\tau \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{j\omega} X(j\omega) + \pi \delta(\omega) x(j0)$
    • u frekvencijskom domenu:
      • $-jtx(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{dX(j\omega)}{d\omega}$
      • $-\frac{1}{jt} x(t) + \pi \delta(t) x(0) \xrightarrow{\mathcal{F}} \int_{-\infty}^{\omega} X(j\lambda) d\lambda$
  • simetričnost signala:
    • $x^{*}(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x^{*}(j\omega)$
    • Za realne signale: $x(t) = x^{*}(t) \implies X(j\omega) = X^{*}(-j\omega)$
    • $\left|x(j\omega)\right| = \left|x(-j\omega)\right| \implies$ amplitudski spektar realnog signala je parna funkcija
    • $arg X(j\omega) = -arg X(-j\omega) \implies$ fazni spektar realnog signala je neparna funkcija
    • $Ev \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Re \{x(j\omega)\}$
    • $Od \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Im \{x(j\omega)\}$
• Parsevalova teorema: $E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} \left|x(t)\right|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left|x(j\omega)\right|^2 d\omega$
  • za periodične signale: $P_x = \frac{1}{T} \int_T \left|x(t)\right|^2 dt = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \left|a_k\right|^2$
• Šenonova teorema o odabiranju: Ako ne želimo da dođe do preklapanja, $\omega_0 - \omega_g$ treba da bude veća od $\omega_g$ ($\omega_0 > 2\omega_g$)

Bodeova analiza sistema

• Frekvencijski odziv LTI sistema: $H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}$
• $H(j\omega) = K \frac{\frac{j\omega}{b} + 1}{\frac{j\omega}{a} + 1}$, $a$ — pol, $b$ — nula
• Svaki pol u našoj frekvencijskoj karakteristici obara nagib amplitudske karakteristike za $-20\frac{dB}{dec}$, a na faznu karakteristiku utiče tako što joj menja nagib za $-\frac{\pi}{2}$. Svaka nula radi obrnuto.

Laplasova transformacija

Uvod

• Analitička relacija: $X(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-st} dt$, $s = \sigma + j\omega$
• Veza između Laplasove i Furijeove transformacije: $X(s) = \mathcal{L} \{ x(t) \} = \mathcal{F} \{ h(t) e^{\sigma t} \}$
  • Konvergencija Laplasove transformacije $\mathcal{L} \{ x(t) \}$ se svodi na konvergenciju $\mathcal{F} \{ h(t) e^{\sigma t} \}$.
• Sintetička relacija: $x(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\omega}^{\sigma + j\omega} X(s) e^{st} ds$
• Za $X(s) = \frac{A^m(s)}{B^n(s)}$, vrednosti $s$ za koje je $A(s) = 0$ nazivaju se nule sistema, a vrednosti $s$ za koje je $B(s) = 0$ polovi.
• Bitne transformacije:
  • $\sin(\omega_0 t) u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}$, ROC: $Re \{ s \} > 0$
  • $\cos(\omega_0 t) u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{s}{s^2 + \omega_0^2}$, ROC: $Re \{ s \} > 0$
  • $e^{-at} \sin(\omega_0 t) u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{\omega_0}{(s + a)^2 + \omega_0^2}$, ROC: $Re \{ s \} > -a$
  • $e^{-at} \cos(\omega_0 t) u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{s + a}{(s + a)^2 + \omega_0^2}$, ROC: $Re \{ s \} > -a$
• Osobine Laplasove transformacije:
  • linearnost: isto kao kod Furijeove transformacije
  • pomeranje u vremenu: $x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{L}} e^{-st_0} X(s)$
  • modulacija: $X(s - s_0) \xrightarrow{\mathcal{L}} e^{-s_0t} x(t)$
  • skaliranje: $x(at) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{\left|a\right|} X\left(\frac{s}{a}\right)$
  • diferenciranje:
    • $\frac{dx(t)}{dt} \xrightarrow{\mathcal{L}} sX(s)$
    • $\frac{dX(s)}{ds} \xrightarrow{\mathcal{L}} -tx(t)$
  • integraljenje: $\int_{-\infty}^t x(\Tau) d\Tau \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{s} X(s)$
  • konvolucija: isto kao kod Furijeove transformacije

Funkcija prenosa sistema

• $H(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t) e^{-st} dt$
• $Y(s) = X(s) H(s)$
• Uslov kauzalnosti: $Re \{ s \} > \sigma_{max}$
• LTI sistem je stabilan ukoliko njegova $j\omega$-osa pripada ROC Laplasove transformacije njegovog odziva.
• Potreban i dovoljan uslov da kauzalan LTI sistem bude stabilan je da svi polovi sistema budu u levoj poluravni, a za antikauzalan u desnoj.
• Redna veza: $H_e(s) = H_1(s) H_2(s)$
• Paralelna veza: $H_e(s) = H_1(s) + H_2(s)$
• Negativna povratna sprega: $H_e(s) = \frac{H_1(s)}{1 + H_1(s) H_2(s)}$

Jednostrana Laplasova transformacija

• $X(s) = \int_0^{+\infty} x(t) e^{-st} dt$ (za kauzalne sisteme)
• Diferenciranje u vremenu:
  • $\frac{dx(t)}{dt} \xrightarrow{\mathcal{L}} sX(s) - x(0)$
  • $\frac{d^nx(t)}{dt^n} \xrightarrow{\mathcal{L}} s^nX(s) - s^{n-1} x(0) - s^{n-2} x'(0) - ... - x^{(n-1)}(0)$
• Granične teoreme Laplasove transformacije:
  1. $x(0) = \lim_{s \to \infty} sX(s)$
  2. $x(\infty) = \lim_{s \to 0} sX(s)$, samo ako su svi polovi $X(s)$ u levoj poluravni