Matematika 1/K2 2018

Teorija

1. zadatak

Navesti definicije sledećih pojmova:

1. Realni niz $(a_n)$ je konvergentan
2. Realni niz $(a_n)$ ima graničnu vrednost $+\infty$
3. Tačka nagomilavanja realnog niza $(a_n)$

2. zadatak

1. Navesti primer realnog niza $(a_n)$ koji ima graničnu vrednost $-\infty$.
2. Navesti primer realnog niza $(a_n)$ koji je neodređeno divergentan.
3. Navesti primer skupa $S \subseteq \mathbb{R}$ koji nema minimalni element i čiji je infimum jednak broju 5.

3. zadatak

Odrediti, ako postoji, graničnu vrednost niza $(b_n)$ čiji je opšti član dat sa:

$b_n = \frac{1}{\sqrt{n^2 + n + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n + 2}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n + 3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 101n}}$

4. zadatak

Neka je funkcija $f: D \to \mathbb{R}$ definisana na domenu $D$ koji nije ograničen odozdo. Definisati sledeće pojmove:

1. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$
2. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$

5. zadatak

Dopuniti iskaze sledećih teorema:

1. Ako je funkcija $f$ _____ takva da $f(a) \cdot f(b) < 0$, tada _____.
2. Neka je data funkcija $f: D \to \mathbb{R}$ koja je definisana u nekoj okolini tačke $a \in \overline{\mathbb{R}}$, osim možda u tački $a$. Tada je $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ($L \in \overline{\mathbb{R}}$) ako i samo ako za svaki niz $(x_n)$ _____.

6. zadatak

Da li jednačina: $x^4 \sin(x\pi) - x^3 + 3x - \sqrt{2} = 0$ ima bar jedno realno rešenje? Obrazložiti odgovor.