Вероватноћа и статистика/Јун 2021

Испит у јунском року 2021. године одржан је 17. јуна и трајао је 90 минута. Поставка рока није доступна са странице предмета.

1. задатак

Поставка

Нека су $X$ и $Y$ независне случајне променљиве са $Unif(0, 1)$ расподелом и нека важи за случајне променљиве $U$ и $V$ важи $U = 2X + 4Y$, $V = X - Y$. Одредити коефицијент корелације за $\rho (U, V)$.

Решење

• $X, Y \sim Unif(0, 1)$
  • $EX = EY = \frac{1}{2}$
  • $VarX = VarY = \frac{1}{2}$
  • $E(X^2) = E(Y^2) = VarX + (EX)^2 = \frac{3}{4}$
• $U = 2X + 4Y$
  • $EU = 2EX + 4EY = 3$
  • $VarU = Var(2X + 4Y) = 4VarX + 16VarY = 10$
• $V = X - Y$
  • $EV = EX - EY = 0$
  • $VarV = VarX + (-1)^2 VarY = 1$
• $Cov(U, V) = E\left((U - EU)(V - EV)\right) =$$E\left((2X + 4Y - 3)(X - Y)\right) =$$E\left(2X^2 - 2XY + 4XY - 4Y^2 - 3EX + 3EY\right) =$$E\left(2X^2 - 4Y^2 + 2XY\right) =$$2E(X^2) - 4E(Y^2) + 2E(XY) =$$-2\frac{3}{4} + \frac{1}{2} =$$-1$
• $\rho(U, V) = \frac{Cov(U, V)}{\sqrt{VarU} \sqrt{VarV} } = -\frac{1}{\sqrt{10} }$

2. задатак

Поставка

Нека случајна променљива $X$ има расподелу $Bin(100, p)$ са вероватноћом успеха $p$, $0 < p < 1$. На основу узорка 34, 28, 47, 38, 53 броја реализованих успеха наћи оцену непознатог параметра $p$ користећи метод максималне веродостојности.

Решење

$\frac{2}{5}$

3. задатак

Поставка

1. Дати дефиницију карактеристичне функције случајне променљиве $X$.
2. Дати исказ теореме која описује особину карактеристичне функције збира две случајне променљиве.
3. Нека су $X$ и $Y$ независне случајне променљиве, где $X$ има $Unif(0, 1)$ расподелу, а $Y$ је дата законом расподеле $Y : \left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0.5 & 0.5 \\ \end{array}\right)$. Доказати да случајна променљива $Z = X + Y$ има $Unif(1, 3)$ расподелу.

Решење

Дефиниција карактеристичне функције, као и теорема 5.1 која описује особину карактеристичне функције збира две случајне променљиве могу се наћи на страници са сажетом теоријом са предавања.

• За $X \sim Unif(0, 1)$ карактеристичну функцију можемо израчунати као $\varphi_X(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{itx} f_X(x) dx =$$\int_0^1 e^{itx} dx =$$\frac{1}{it} e^{itx} |_0^1 =$$\frac{1}{it} \left(e^{it} - 1\right)$.
• За $Y$ карактеристичну функцију можемо израчунати као $\varphi_Y(t) = \frac{1}{2} e^{it} + \frac{1}{2} e^{2it}$.
• Карактеристична функција $Z$ се може израчунати као $\varphi_Z(t) = \varphi_X(t) \varphi_Y(t) =$$\frac{1}{2it} \left(e^{it} - 1\right) \left(e^{it} + e^{2it}\right) =$$\frac{1}{2it} \left(e^{2it} - e^{it} + e^{3it} - e^{2it}\right) =$$\frac{1}{2it} \left(e^{3it} - e^{it}\right)$.
• Са друге стране, уколико бисмо замислили једну другу случајну променљиву $W \sim Unif(1, 3)$ и израчунали њену карактеристичну функцију добили бисмо $\varphi_W(t) = \frac{1}{2} \int_1^3 e^{itx} dx =$$\frac{1}{2it} e^{itx} |_1^3 =$$\frac{1}{2it} \left(e^{3it} - e^{it}\right)$.
• Како су $\varphi_Z$ и $\varphi_W$ исте функције, доказ је готов.

4. задатак

Поставка

Број студената на предавањима је случајна променљива са $Poiss(36)$ расподелом.

1. Колико треба да има места у учионици да би са вероватноћом бар 99% сви присутни студенти могли да седе?
2. Која апроксимација је коришћена под 1)? Објаснити како се дошло до те апроксимације.

Решење

Минималан број места је 50. Коришћена је апроксимација Пуасонове расподеле нормалном $N(36, 36)$ расподелом.

5. задатак

Поставка

На основу узорка обима 121 из $N(\mu, \sigma^2)$ расподеле добијено је $\hat{\mu} = 1.2$ и $s^2 = 2.25$. Тестирати хипотезу $H_0: \mu = 1$ против алтернативне хипотезе $H_1: \mu > 1$ са нивоом значајности 0.05. Објаснити поступак.

Решење

Хипотеза $H_0$ се не одбацује.