Други колоквијум 2022. године одржан је 5. маја. Поставка рока није јавно доступна.
1. задатак
Поставка
Нека је дата функција густине случајне променљиве са . Наћи функцију расподеле случајне променљиве .
Решење
Прво је потребно одредити функцију расподеле : . За добијамо , тако да је функција расподеле: .
Из тога добијамо функцију расподеле као , односно:
2. задатак
Поставка
- Навести три особине математичког очекивања по избору.
- Нека је функција расподеле случајне променљливе дата са . Наћи .
Решење
Особине математичког очекивања могу се наћи у оквиру теореме 4.2 на страници са сажетом теоријом.
Да бисмо пронашли потребна нам је вредност . За непрекидно важи , за шта нам је потребна густина расподеле . Даље добијамо:
3. задатак
Поставка
Нека је случајна променљива са Пуасоновом расподелом са параметром , а случајна променљива са нормалном расподелом са очекивањем и варијансом . Ако су и , одредити .
Решење
Ако рачунамо да су и независне, добијамо следеће:
- , ,
- , ,
- , ,
- , ,
4. задатак
Поставка
су независне случајне променљиве са истом расподелом, очекивањем и варијансом .
- Наћи и .
- Коришћењем неједнакости Чебишева наћи најмање , тако да .
Решење
-
5. задатак
Поставка
Коцкица се баца 540 пута. Која је вероватноћа да ће шестица пасти између 100 и 120 пута? Навести дефиницију теореме која је коришћена.
Решење
Број шестица је у овом случају случајна променљива . Како је , за . Коришћењем централне граничне теореме добијамо: