Вероватноћа и статистика/Јул 2021

Испит у јулском року 2021. године одржан је 9. јула и трајао је 90 минута. Поставка рока није доступна са странице предмета.

1. задатак

Поставка

Наћи $\rho(X, Y)$ и испитати јесу ли случајне променљиве зависне.

Расподела случајног вектора $(X, Y)$

$X$ \ $Y$	0	1	2	3	4	5
1	0.05	0.05	0.1	0	0.1	0.1
2	0.1	0.1	0.2	0.05	0.1	0.05

Решење

• Маргинални закон расподеле за $X$ је $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0.15 & 0.15 & 0.3 & 0.05 & 0.2 & 0.15 \end{pmatrix}$
  • $EX = 0 \cdot 0.15 + 1 \cdot 0.15 + 2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.05 + 4 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.15 = 2.45$
  • $E(X^2) = 0 \cdot 0.15 + 1 \cdot 0.15 + 4 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.05 + 16 \cdot 0.2 + 25 \cdot 0.15 = 8.75$
  • $VarX = E(X^2) - (EX)^2 = 2.7475$
• Маргинални закон расподеле за $Y$ је $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix}$
  • $EY = 0.4 + 1.2 = 1.6$
  • $E(Y^2) = 0.4 + 2.4 = 2.8$
  • $VarY = E(Y^2) - (EY)^2 = 0.24$
• Закон расподеле за $XY$ гласи: $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 & 8 & 10 \\ 0.15 & 0.05 & 0.2 & 0.3 & 0.1 & 0.05 & 0.1 & 0.05 \end{pmatrix}$
  • $E(XY) = 0.05 + 0.4 + 1.2 + 0.5 + 0.3 + 0.8 + 0.5 = 3.75$
• $Cov(X, Y) = E(XY) - EX \cdot EY = 3.75 - 2.45 \cdot 1.6 = -0.17$
  • Како коваријанса није 0, променљиве јесу зависне.
• $\rho(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{VarX} \sqrt{VarY} } = \frac{-0.17}{\sqrt{2.7475} \sqrt{0.24} } \approx -0.209$

2. задатак

Поставка

На журку нам долази 120 људи, вероватноће да ће неко узети 0, 1 или 2 сендвича су $\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$. Колико је најмање сендвича потребно да се направи да би са вероватноћом од 0.95 били сигурни да ће их бити за све? Коју теорему сте користили да би сте решили задатак?

Решење

• Закон расподеле: $X: \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0.25 & 0.5 & 0.25 \end{pmatrix}$
  • $EX = 1$
  • $E(X^2) = 0.5 + 4 \cdot 0.25 = 1.5$
  • $VarX = E(X^2) - (EX)^2 = 0.5$
• $Y = X_1 + ... + X_n$
• Централна гранична теорема: $\frac{Y - n\mu}{\sigma \sqrt{n} } =$$\frac{Y - 120}{\sqrt{120 \cdot 0.5} } =$$\frac{Y - 120}{60} \sim \mathcal{N}(0, 1)$
• $0.95 = P(Y \leq n) =$$P\left(\frac{X - 120}{\sqrt{60} } \leq \frac{n - 120}{\sqrt{60} }\right) =$$\Phi\left(\frac{n - 120}{\sqrt{60} }\right)$
• $1.645 = \frac{n - 120}{\sqrt{60} }$
  • $n = 1.645 \cdot \sqrt{60} + 120 \approx 132.74$

3. задатак

Овај задатак није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Поставка

Нека променљива има варијансу 1.44 кад је очекивање непознато. Приликом оцена параметра добијен је интервал поверења дужине 0.9408. Колики треба бити узорак да би се ово десило? $\alpha = 0.05$

Скица решења

Одузимањем горње и доње границе интервала долазимо до израза из којег извлачимо $n$ које је минимум 25.

4. задатак

Овај задатак није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Поставка

Нека су $X_1, X_2,...X_n$ променљиве са расподелом $Exp(\frac{1}{\lambda})$. Ако је $U$ оцена параметра добијена методом максималне веродостојности, $V$ оцена $\lambda = min\{X_1, X_2,...X_n\}$. Која од оцена је боља?

5. задатак

Овај задатак није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Поставка

Мерен је промет аутомобила на неком месту у периоду од 100 минута (ауто/минут). Резултату су дати у табели. Да ли ови резултати прате Пуасонову расподелу?

Бр. аутомобила	0	1	2	3	4	5
Бр. проласка	8	28	31	18	9	6

Скица решења

Прво морамо оценити параметар Пуасонове расподеле јер није дат. После правимо табелу за тестирање непараметарских хипотеза $\chi^2$ јер је Пуасонова раподела дискретна. Након тога користимо квантили из $\chi^2$ расподеле са степеном слободе 4 (6-1-1).