Математика 2/Јун 2020

Први део

Теорија

1. задатак

• Дефинисати примитивну функцију
• Дефинисати неодређени интеграл
• Увести смену у следеће интеграле, исписати без сређивања и решавања:

Интеграл	Смена	Интеграл са сменом
$\int \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x}}dx$
$\int \frac{sinx}{sinx+cosx}dx$

• Следеће интеграле решити само ако су несвојствени:

$\int\limits_0^{+\infty} g(x)dx$

$\int\limits_1^5 g(x)dx$

$\int\limits_{-1}^{3} g(x)dx$

Ако је $g(x) = \frac{1}{(x-5)^2}$

2. задатак

• Извести решење линеарне диференцијалне једначине $y'(x) = Q(x)y(x) + P(x)$
• Којег су типа следеће диференцијалне једначине:

$y' + e^{\frac{y}{x}} = \frac{y}{x}$

$y' = \sqrt{\frac{1+x^2}{1+y^2}}$

• Исказати методу варијације констаната
• Решити следећу диференцијалну једначину: $y'' + y = \frac{1}{sinx}$

Задаци

1. задатак

• Извести рекуренту формулу за интеграл $\int sin^nxdx$
• Решити интеграл $\int sin^4x cos^2x dx$
• Наћи површину коју ограничава крива $y = sinx$ и права $y = -1$

2. задатак

• Решити диференцијалну једначину $y' - y = 2cosx - 4sinx$
• Решити диференцијалну једначину $y'' - y = 2cosx - 4sinx$

Други део

1. задатак

1. За ред са позитивним члановима дефинисати Даламберов критеријум.
2. За ред са позитивним члановима дефинисати Кошијев корени критеријум.
3. Испитати конвергентност реда $\left(\frac{2k + 3}{4k + 5}\right)^k$.

2. задатак

1. Написати теорему о броју комбинација с понављањем.
2. За задати скуп $\{c, T, 2\}$ написати све комбинације са понављањем и одредити колико их има.
3. За праву задату као пресек две равни детаљно описати два начина за налажење њеног параметарског облика уколико су дате једначине те две равни.
4. За задате једначине две равни одредити параметарску једначину праве на оба начина: (?)

1. задатак

Дати су вектори $v_1 = (1, k, k)$, $v_2 = (-1, 1, 1)$ и $v_3 = (-2, 1, k)$.

1. Одредити линеарну зависност вектора у односу на вредност $k$.
2. Уколико $k = \sqrt{2} - 1$, одредити површину паралелограма коју граде $v_1$ и $v_2$.
3. Уколико $k = 2$, одредити запремину парелелепипеда који граде ова три вектора.

2. задатак

Испитати конвергенцију редова и сумирати ако су конвергентни:

1. $\sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$
2. $\sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{2^n + 1}{4^n}$
3. $\sum_{n = 2}^{+\infty} n^2\left(\frac{1}{2} + \frac{2}{n}\right)^{-n}$

Домаћи

П1

1. задатак

1. $\int \frac{1}{x^2 + 2x + 2}$
2. $\int \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 2}$

2. задатак

Одредити оно партикуларно решење диференцијалне једначине $(x + 1) dx + (y - 1) dy = 0$ које пролази кроз тачку $(1, 1)$.

3. задатак

Наћи екстремуме: $z(x, y) = x^2 + y^2 - 4(x - y)$

4. задатак

Наћи параметар $a$ тако да сопствена вредност матрице буде 2:

(?)

5. задатак

Наћи све седмоцифрене бројеве у којима се јављају три јединице, две двојке и две тројке.