Математика 2/Јул 2020

Овај рок није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Први део

Теорија

Иста као у јунском року.

Други део

1. задатак

1. Написати дефиницију линеарне независности вектора над пољем $\mathbb{F}$.
2. Испитати линеарну независност вектора $v = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i\right)$ и $u = \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i, \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i\right)$ над пољем $\mathbb{R}$.
3. Испитати линеарну независност вектора изнад над пољем $\mathbb{C}$.
4. Дефинисати ранг матрице.
5. Дефинисати сопствене вредности и векторе матрице.
6. Одредити ранг, сопствене вредности и сопствене векторе матрице $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{bmatrix}$.

2. задатак

1. Написати дефиницију композиције.
2. Исписати све композиције 13 са 3 сабирка. Колико их има? (Није морало све да се испише)
   • За групе П2/П3 било је речено: Исписати све композиције 8 са 3 сабирка. Колико их има? (Морало је све да се испише)
3. Исписати све партиције 8 са 3 сабирка. Колико их има?
4. Детаљно описати начин за одређивање праве као пресека две равни у параметарском облику.
5. Применити горе објашњени поступак на $\alpha:$ (?) и $\beta:$ (?).

1. задатак

Проверити да ли се равни:

$\pi_1: x + y + z = 3$

$\pi_2: x - ay + 2z = 1$

$\pi_3: 2x + 2y - az = 6$

секу у зависности од параметра $a$ и написати једначину праве по којој се равни секу у канонском облику.

2. задатак

1. Колико има функција које сликају скуп $M = \{1, 2\}$ у скуп $P = \{1, 2, 3, 4, 5\}$?
2. Колико има функција које сликају скуп $\{a, b, c\}$ у скуп цифара?

Домаћи задатак

1. задатак

Решити интеграле:

1. $\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 4}$
2. $\int \frac{(x+2)dx}{x^2 + 4x + 4}$

2. задатак

Одредити екстреме функције $z(x,y) = (x-y)^2 + (x-1)^2$

3. задатак

Одредити $c,d \in \mathbb{R}$ тако да $y = csinx + dcosx$ буде решење $y' + 2y = cosx$

4. задатак

Одредити параметар а тако да матрица има сопствену вредност 2. (Фали матрица)

5. задатак

Колико има осмоцифрених бројева таквих да се цифра 9 појављује три пута, цифре 7 и 8 два пута и цифра 6 једанпут?