Математика 2/Септембар 2020

Први део

Теорија

1. задатак

1. Израчунати $\int_{-1}^1 f(x) dx$, ако је $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{(x + 1)^2}, & x \neq -1 \\ 27, & x = -1 \end{array} \right.$
2. Израчунати $\int_1^{10} g(x) dx$, ако је $g(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \ln x, & x \notin \{3, 5, 7, 9\} \\ -10^{35}, & x \in \{3, 5, 7, 9\} \end{array} \right.$.
3. Израчунати $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sin^3 x + tg x} dx$.

2. задатак

За функцију $g(x) = \frac{1}{x^2 + \alpha x + \beta}$, где $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ и $\alpha^2 - 4\beta < 0$, одредити ? функција на интервалу $I = (-\infty, +\infty)$.

3. задатак

Дефиниција општог, сингуларног и партикуларног решења диференцијалне једначине:

4. задатак

1. Како гласи општи облик Бернулијеве диференцијалне једначине
2. Како се решава Бернулијева диференцијална једначина
3. Решити $6y' - 2y = xy^4$ са почетним условима $y(0)=-2$

Задаци

1. задатак

Израчунати вредност несвојственог интеграла $\int_0^{+\infty} \frac{arctgx}{(1 + x)^2} dx$.

2. задатак

1. Одредити тачке локалних екстремума функције $z(x,y) = x^4 + y^4 - 2x^2 + 4xy - 2y^2$.
2. Одредити опште решење диференцијалне једначине $y''' = 3y'' + 4y' - 2y = \cos x$.

Други део

Теорија

1. задатак

1. Дефиниши ранг матрице
2. Наћи ранг матрице $\begin{bmatrix} 3 & b & b\\ b & 3 & b\\ b & b & 3 \end{bmatrix}$ у зависности од $b$.

2. задатак

1. Дефиниши карактеристични и минимални полином квадратне матрице
2. Нађи карактеристичан и минималан полином матрице $5I_n$ где је $I_n$ јединична матрица реда $n\in\mathbb{N}$.

3. задатак

1. Дефиниши комбинацију са понављањем
2. За скуп $T=\left \{ a,b,c,d \right \}$ напиши 5 комбинација са понављањем седме класе.
3. Приказати модел и објаснити начин пребројавања комбинација са понављањем на примерима из претходног питања
4. Колико има скупова од $n$ елемената класе $k$?

4. задатак

1. Дефиниција равни
2. Објаснити и нацртати поступак пребацивања из векторског облика равни из дефиниције у општи облик равне.

Задаци

1. задатак

Наћи $\lambda$ за које систем $\begin{matrix} 2x-y+z+t=1\\ x+2y-z+4t=2\\ x+7y-4z+11t=\lambda \end{matrix}$ има решење па решити систем.

2. задатак

1. Колико делиоца има $13200$ укључујући $1$ и њега самог?
2. Колико постоји пресликавања скупа $\left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \}$ у $\left \{ 2,4,6 \right \}$ за $\left ( \forall a\in A \right ) f(a)\neq a$?