Вероватноћа и статистика/К2 2023

Други колоквијум 2023. године одржан је 3. маја и трајао је сат времена. Били су дозвољени калкулатори и била је дата табела са вредностима $\Phi(x)$. Поставка овог рока није јавно доступна.

1. задатак

Поставка

Случајна променљива $X$ има расподелу $Unif(2, 4)$. Одредити коју расподелу има случајна променљива $Y = -2X + 5$.

Решење

• $F_Y(y) = P(Y \leq y) =$$P(-2X + 5 \leq y) =$$P(-2X \leq y - 5) =$$P\left(X \geq \frac{5 - y}{2}\right) =$$1 - P\left(X \leq \frac{5 - y}{2}\right) =$$1 - F_X\left(\frac{5 - y}{2}\right)$
• $F_X(x) = \begin{cases} 0, & x < 2 \\ \frac{x - 2}{2}, & x \in [2, 4] \\ 1, & x > 4 \end{cases}$
• Нове границе за униформну расподелу:
  • $\frac{5 - y}{2} = 2 \implies y = 1$
  • $\frac{5 - y}{2} = 4 \implies y = -3$
• $F_X\left(\frac{5 - y}{2}\right) = \begin{cases} 1, & y < -3 \\ \frac{\frac{5 - y}{2} - 2}{2} = \frac{1 - y}{4} & y \in [-3, 1] \\ 0, & y > 1 \end{cases}$
• $F_Y(y) = \begin{cases} 0, & y < -3 \\ \frac{y + 3}{4}, & y \in [-3, 1] \\ 1, & y > 1 \end{cases}$
  • Одавде видимо да је расподела $Unif(-3, 1)$.

2. задатак

Поставка

Заједничка функција расподеле случајног вектора $(X, Y)$ је $f(x, y) = \begin{cases} 24xy, & x > 0, y > 0, x + y < 1 \\ 0, & \text{inače} \end{cases}$. Одредити маргиналне законе расподеле случајних променљивих $X$ и $Y$.

Решење

$f_X(x) = \int_{-\infty}^x f(x, y) dy = \begin{cases} 0, & x \notin (0, 1) \\ 24x \int_0^{1-x} y dy = 24x \frac{y^2}{2}|_0^{1-x}, & x \in (0, 1) \end{cases} =$$\begin{cases} 0, & x \notin (0, 1) \\ 12x(1-x)^2, & x \in (0, 1) \end{cases}$

Како је једначина симетрична, аналогно важи и за $f_Y(y)$.

3. задатак

Поставка

За случајну променљиву $X$ је познато $EX = 100, VarX = 15$. Одредити:

1. $E(X^2)$
2. $E(2X + 6)$
3. $Var(-3X + 5)$

Решење

1. $E(X^2) = VarX + E(X)^2 = 10015$
2. $E(2X + 6) = 2EX + 6 = 206$
3. $Var(-3X + 5) = Var(-3X) = (-3)^2 VarX = 135$

4. задатак

Поставка

Карактеристична функција случајне променљиве гласи $\varphi(t) = \frac{1}{2} cos(t) + \frac{1}{6} cos(2t) + \frac{1}{3} cos(3t)$. Одредити закон расподеле и очекивање ове случајне променљиве.

Решење

• $cos(t) = \frac{e^{it} + e^{-it} }{2}$
• $\varphi(t) = \frac{1}{4} e^{it} + \frac{1}{4} e^{-it} + \frac{1}{12} e^{2it} + \frac{1}{12} e^{2it} + \frac{1}{6} e^{3it} + \frac{1}{6} e^{-3it}$
• $X: \begin{pmatrix} -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{12} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{12} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}$
• Интуитивно, очекивање овакве случајне променљиве је 0.

5. задатак

Поставка

Базен са водом се празни сваког сата. Количина воде (у m³) која истекне током једног сата има расподелу $Exp\left(\frac{1}{20}\right)$. Ако је базен имао 1000m³ воде, колика је вероватноћа да за 36 сати остане мање од 610m³ у базену?

Решење

• Означимо са $X_1$ случајну променљиву која означава колико воде је истекло првог сата, $X_2$ колико је истекло другог сата, и тако до $X_{36}$.
• $X = X_1 + X_2 + ... + X_{36}$
• $EX_1 = \frac{1}{\lambda} = 20$
• $VarX_1 = \frac{1}{\lambda^2} = 400$
• $EX = 36 \cdot EX_1 = 720$
• $VarX = VarX_1 = 400$
• Централна гранична теорема: $\frac{X - EX}{\sqrt{n \cdot VarX} } \sim \mathcal{N}(0, 1)$ (важи јер је $n = 36 \geq 30$)
• $P(X \geq 1000 - 610) = P(X \geq 390) =$$1 - P(X \leq 390) =$$1 - P\left(\frac{X - 720}{120} \leq \frac{390 - 720}{120}\right) =$$1 - \Phi(-2.75) = \Phi(2.75) = 0.99702$