Вероватноћа и статистика/К 2021

Колоквијум 2021. године одржан је 9. маја и трајао је 90 минута.

1. задатак

Овај задатак није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Поставка

Искра и Марко се налазе између 15 и 18 часова, ко први дође чека 45 минута пре него што оде. Колика је шанса да ће се Марко и Искра срести?

Скица решења

Направити координатни систем који иде до 3 по обе осе. Повући праве $y = x + \frac{1}{4}$, $y = x - \frac{1}{4}$, $y = 1$ и $x = 1$. Одредити површину шестоугла који они одређују и то је вероватноћа њиховог сусрета.

2. задатак

Поставка

1. Шта је условна вероватноћа?
2. Дефинисати независност догађаја.

Решење

Дефиниције условне вероватноће и независности догађаја могу се пронаћи на страници са сажетом теоријом.

3. задатак

Поставка

Дати дефиницију тоталне вероватноће.

Решење

Ова дефиниција се такође може пронаћи на страници са сажетом теоријом.

4. задатак

Овај задатак није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Поставка

Фирма A проиводи 23%, B 52%, а фирма C 27% производа. Шкарта има у A 1%, B 3% а у C 5%. Колика је шанса да смо изабрали неки неисправан производ са гомиле на којој се налазе производи само ових компанија?

Скица решења

Коришћењем формуле тоталне вероватноће и Бајесове формуле се долази до решења.

5. задатак

Поставка

У просеку у пошту уђу две особе у 3 минута. Колика је вероватноћа да у 5 минута не уђе ниједна особа, а колика да је ушло бар 3 особе?

Решење

• Ретки догађаји као што је и овај имају Пуасонову расподелу. Случајна променљива за број особа у пет минута би имала расподелу $X \sim Poiss\left(\frac{5}{3}\right)$.
• $P(X = 0) = e^{-\frac{5}{3} } \frac{\frac{5}{3}^0}{0!} \approx 0.1889$
• $P(X \geq 3) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2) \approx 0.234$

6. задатак

Поставка

Написати дефиницију математичког очекивања и навести његове особине.

Решење

Математичко очекивање и његове особине се такође могу пронаћи на страници са сажетом теоријом.

7. задатак

Поставка

Ако је $X$ непрекидна случајна променљива са густином $f_X$ и расподелом $F_X$ одредити густину и расподелу за $Y = |X|$.

Решење

• $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(|X| \leq y) = P(-y \leq X \leq y) = F_X(y) - F_X(-y)$
• $f_Y(y) = F_Y'(y) = (F_X(y))' - (F_X(-y))' = f_X(y) + f_X(-y)$