Вероватноћа и статистика/Јун 2021

Испитни део - Статистика

1. задатак

Поставка

Нека су $X$ и $Y$ независне случајне променљиве са $Unif(0, 1)$ расподелом и нека важи за случајне променљиве $U$ и $V$ важи $U = 2X + 4Y$, $V = X - Y$. Одредити коефицијент корелације за $\rho (U, V)$.

Решење

$-0.316$

2. задатак

Поставка

Нека случајна променљива $X$ има расподелу $Bin(100, p)$ са вероватноћом успеха $p$, $0 < p < 1$. На основу узорка 34, 28, 47, 38, 53 броја реализованих успеха наћи оцену непознатог параметра $p$ користећи метод максималне веродостојности.

Решење

$\frac{2}{5}$

3. задатак

Поставка

1. Дати дефиницију карактеристичне функције случајне променљиве $X$.
2. Дати исказ теореме која описује особину карактеристичне функције збира две случајне променљиве.
3. Нека су $X$ и $Y$ независне случајне променљиве, где $X$ има $Unif(0, 1)$ расподелу, а $Y$ је дата законом расподеле $Y : \left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0.5 & 0.5 \\ \end{array}\right)$. Доказати да случајна променљива $Z = X + Y$ има $Unif(1, 3)$ расподелу.

4. задатак

Поставка

Број студената на предавањима је случајна променљива са $Poiss(36)$ расподелом.

1. Колико треба да има места у учионици да би са вероватноћом бар 99% сви присутни студенти могли да седе?
2. Која апроксимација је коришћена под 1)? Објаснити како се дошло до те апроксимације.

Решење

Минималан број места је 50. Коришћена је апроксимација Пуасонове расподеле нормалном $N(36, 36)$ расподелом.

5. задатак

Поставка

На основу узорка обима 121 из $N(\mu, \sigma^2)$ расподеле добијено је $\hat{\mu} = 1.2$ и $s^2 = 2.25$. Тестирати хипотезу $H_0: \mu = 1$ против алтернативне хипотезе $H_1: \mu > 1$ са нивоом значајности 0.05. Објаснити поступак.

Решење

Хипотеза $H_0$ се не одбацује.